Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

Ответ: 6.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, полупериметр равен p, радиус окружности равен R. Тогда

Ответ: 30.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2.

Ответ: 2.

Ответ: 18.

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Ответ: 0,5.

Примечание

Другой способ решения состоит в использовании формулы, выражающей радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через его сторону:

Известно, что а по условию Поэтому длина стороны треугольника

Ответ: 1.

Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому

Ответ: 0,25.

Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому

Ответ: 8.

Рассмотрим равносторонний треугольник AOB (см. рис.). В этом треугольнике

Ответ: 2.

Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. Рассмотрим треугольник FEA и применим теорему косинусов, считая, что длина стороны шестиугольника равна a:

Далее имеем:

Ответ: 1,5.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Ответ: 1.

Приведём другое решение.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его удвоенной площади к периметру. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Тем самым, для катетов и гипотенузы имеем:

Имеем:

Ответ: 1.

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Тогда

Ответ: 1,5.

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники и равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит,

Ответ: 22.

в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 4.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 10.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 2.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD. Тогда

Ответ: 52.

Пусть большая из двух оставшихся сторон имеет длину x, тогда длина четвертой стороны равна В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В этом случае периметр четырехугольника вдвое больше суммы длин противоположных сторон, а значит, стороны длиной x и 13 − x, как и стороны длиной 5 и 6, не могут быть противоположными и являются смежными.

Итак, напротив большей из первой пары смежных сторон с длинами x и 13 − x лежит меньшая из второй пары смежных сторон с длинами 5 и 6. Поскольку суммы длин противоположных сторон равны, имеем:

Ответ: 7.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD, значит,

Ответ: 14.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек соответственно равны друг другу. Поэтому

Следовательно,

Ответ: 24.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Ответ: 5.