Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его по­лу­пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: 6.

Из фор­му­лы , где p — по­лу­пе­ри­метр, на­хо­дим, что пе­ри­метр опи­сан­но­го мно­го­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию удво­ен­ной пло­ща­ди к ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: 24.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию его пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру. Пусть пло­щадь равна S, по­лу­пе­ри­метр равен p, ра­ди­ус окруж­но­сти равен R. Тогда

Ответ: 30.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, равен одной трети вы­со­ты. По­это­му он равен 2.

Ответ: 2.

##

Ответ: 18.

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Ответ: 0,5.

Примечание

Другой способ решения состоит в использовании формулы, выражающей радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через его сторону:

Из­вест­но, что а по усло­вию По­это­му длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

Ответ: 1.

Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому

Ответ: 0,25.

Ра­ди­ус r впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти вдвое мень­ше его вы­со­ты d. По­это­му

Ответ: 8.

Рас­смот­рим рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник AOB (см. рис.). В этом тре­уголь­ни­ке

Ответ: 2.

Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник FEA и при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов, счи­тая, что длина сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка равна a:

Далее имеем:

Ответ: 1,5.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию его удво­ен­ной пло­ща­ди к пе­ри­мет­ру. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов. Тем самым, для ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы имеем:

Имеем:

Ответ: 1.

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру. Для на­хож­де­ния пло­ща­ди, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на:

Тогда

Ответ: 1,5.

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники и равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит,

Ответ: 22.

в вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда

Ответ: 4.

В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда

Ответ: 10.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 2.

В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда AB + CD = BC + AD. Тогда

Ответ: 52.

Пусть большая из двух оставшихся сторон имеет длину x, тогда длина четвертой стороны равна В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В этом случае периметр четырехугольника вдвое больше суммы длин противоположных сторон, а значит, стороны длиной x и 13 − x, как и стороны длиной 5 и 6, не могут быть противоположными и являются смежными.

Итак, напротив большей из первой пары смежных сторон с длинами x и 13 − x лежит меньшая из второй пары смежных сторон с длинами 5 и 6. Поскольку суммы длин противоположных сторон равны, имеем:

Ответ: 7.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD, значит,

Ответ: 14.

От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из точек со­от­вет­ствен­но равны друг другу. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не его сто­ро­ны.

Ответ: 5.

Найдём ги­по­те­ну­зу AB: Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 6.