Ре­ше­ние. Зная, что най­дем ко­си­нус угла A:

Далее имеем:

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

Можно было бы вос­поль­зо­вать­ся опре­де­ле­ни­ем ко­си­ну­са: то есть от­ку­да

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая длина ги­по­те­ну­зы равна x. По опре­де­ле­нию си­ну­са а по усло­вию сле­до­ва­тель­но, от­ку­да При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Ре­ше­ние. Ко­ор­ди­на­ты суммы век­то­ров равны сум­мам со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат:

Тогда для длины век­то­ра суммы имеем:

Квад­рат длины век­то­ра равен 200.

Ответ: 200.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть грань ASB пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, точка G  — се­ре­ди­на сто­ро­ны DC. Бо­ко­вые грани SAD, SBC и SDC на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°, по­это­му углы A и B в тре­уголь­ни­ке ASB и угол G в тре­уголь­ни­ке SGH равны по 60°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ASB  — рав­но­сто­рон­ний, а его сто­ро­на свя­за­на с вы­со­той фор­му­лой от­ку­да

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SHG на­хо­дим:

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му его пло­щадь равна про­из­ве­де­нию длин сто­рон:

Оста­лось найти объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. При трёхкрат­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости 6 очков может по­лу­чит­ся толь­ко в де­ся­ти слу­ча­ях: 1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1, 3 + 1 + 2, 3 + 2 + 1, 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1 и 4 + 1 + 1. При этом 3 очка вы­па­да­ет в шести из этих слу­ча­ев. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что хотя бы раз вы­па­ло 3 очка, равна

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Для по­го­ды на 4, 5 и 6 июля есть 4 ва­ри­ан­та: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х  — хо­ро­шая, О  — от­лич­ная по­го­да). Най­дем ве­ро­ят­но­сти на­ступ­ле­ния такой по­го­ды:

Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Ответ: 0,392.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что и ис­поль­зу­ем фор­му­лу Имеем:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

по­это­му

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней, она имеет вид и её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен 0. Сле­до­ва­тель­но, мы ищем точку, в ко­то­рой уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен нулю, а зна­чит, и про­из­вод­ная равна нулю. Про­из­вод­ная равна нулю в той точке, в ко­то­рой её гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая точка

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства cм/с при за­дан­ном за­ко­не из­ме­не­ния ско­ро­сти :

Таким об­ра­зом, пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла дви­же­ния ско­рость груза была не менее 2,5 см/с. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 0,67.

Ответ: 0,67.

Ре­ше­ние. Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм  — 95%. По­это­му 20 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.

Ответ: 190.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что Тогда

Зна­чит, Решим урав­не­ние :

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке в нашем слу­чае  — в точке −2. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ю­щая, а за­дан­ная функ­ция опре­де­ле­на при най­ден­ном зна­че­нии пе­ре­мен­ной, она до­сти­га­ет мак­си­му­ма в той же точке, в ко­то­рой до­сти­га­ет мак­си­му­ма под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние.

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

У вто­ро­го урав­не­ния ре­ше­ний нет.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние: от­ку­да

б)  Оце­ним це­лы­ми чис­ла­ми: Тогда

Зна­чит, от­рез­ку при­над­ле­жит толь­ко

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет пря­мую PH в точке M. и по­это­му по­это­му AK  ― вы­со­та и ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка PAC. Сле­до­ва­тель­но, M  ― точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этого тре­уголь­ни­ка, от­ку­да и по­лу­ча­ем PM : MH  =  2 : 1.

б)  Пусть точка L  ― про­ек­ция точки K на плос­кость ABC. KL || PH и PK  =  KC, по­это­му и L  ― се­ре­ди­на CH. От­ре­зок BL  ― про­ек­ция от­рез­ка BK на плос­кость ABC. По­сколь­ку точка H  ― про­ек­ция пря­мой PH на плос­кость ABC. Зна­чит, рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и BK равно рас­сто­я­нию от точки H до пря­мой BL, то есть вы­со­те h тре­уголь­ни­ка BHL про­ве­ден­ной из вер­ши­ны H.

Далее имеем:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

б)  По­сколь­ку тре­уголь­ник PAC  — рав­но­сто­рон­ний, то

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Имеем:

Рас­смот­рим плос­кость α, ко­то­рая про­хо­дит через пря­мую PH па­рал­лель­но пря­мой BK. Век­тор па­рал­ле­лен плос­ко­сти α, а зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен нор­ма­ли к ней. Пусть век­тор нор­ма­ли имеет ко­ор­ди­на­ты тогда

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек P и H в урав­не­ние плос­ко­сти по­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы вто­рое, по­лу­чим: от­ку­да Под­ста­вим в тре­тье урав­не­ние, по­лу­чим от­ку­да На­хо­дим D:

По­лу­ча­ем урав­не­ние плос­ко­сти α:

сле­до­ва­тель­но, век­тор нор­ма­ли к плос­ко­сти α имеет ко­ор­ди­на­ты Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и BK равно

Ре­ше­ние. Пусть тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:

Так как имеем а зна­чит,

По­лу­ча­ем:

По­яс­ним: не­ра­вен­ство эк­ви­ва­лент­но не­ра­вен­ству и вы­пол­не­но для всех зна­че­ний пе­ре­мен­ной. Итак,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пер­вое ре­ше­ние:

Из усло­вия «на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-смен» сле­ду­ет, что ра­бо­та­ю­щие на за­во­де 100 че­ло­век за смену смо­гут про­из­ве­сти мак­си­мум 10 де­та­лей од­но­го типа.

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, а осталь­ные 100 − х ра­бо­чих про­из­во­дят де­та­ли типа В, и пусть на вто­ром ком­би­на­те из 10 де­та­лей про­из­во­дит­ся y де­та­лей типа А и 10 − y де­та­лей типа В. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат		y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт.  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных целых зна­че­ни­ях y, не боль­ших 10.

Функ­ция   — убы­ва­ю­щая. Наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке она при­ни­ма­ет при при этом а

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство из­де­лий за смену будет со­бра­но, если на вто­ром за­во­де будут из­го­тав­ли­вать толь­ко де­та­ли типа В (100 ра­бо­чих из­го­то­вят 10 де­та­лей типа В), а на пер­вом за­во­де 11 че­ло­век из­го­то­вят 33 де­та­ли типа А, а осталь­ные 89 ра­бо­чих из­го­то­вят 89 де­та­лей типа В. Итого по­лу­чим 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В, на про­из­вод­стве ко­то­рых были за­ня­ты все 200 че­ло­век.

Зна­чит, ком­би­нат смо­жет со­брать за смену 33 из­де­лия.

Ответ: 33 из­де­лия.

За­ме­ча­ние.

Вна­ча­ле мы про­чли усло­вие иначе и по­ла­га­ли, что на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей каж­до­го типа (и А, и В не­за­ви­си­мо друг от друга) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-смен. При­ведём ре­ше­ние и при­ме­ча­ния к нему для та­ко­го по­ни­ма­ния усло­вия. К этому же по­ни­ма­нию усло­вия от­но­сят­ся ком­мен­та­рии чи­та­те­лей.

Вто­рое ре­ше­ние:

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих, а на вто­ром ком­би­на­те y ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат	y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях y не боль­ших 100. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти, рав­ным при этом Ко­ли­че­ство де­та­лей долж­но быть на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ра­бо­чие могут про­из­ве­сти, самое боль­шее, 33 де­та­ли типа А.

Из (*) на­хо­дим чел. Это озна­ча­ет, что 10 ра­бо­чиx пер­во­го ком­би­на­та и 10 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, за сутки они про­из­ве­дут их 33 шт, остав­ши­е­ся 90 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та и 90 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­лей В, за сутки они про­из­ве­дут их 99 шт.

Ответ: 33 из­де­лия.

При­ме­ча­ние 1.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель мог бы за­дать во­прос о том, по­че­му в ра­вен­стве (*) пред­по­ла­га­ет­ся, что де­та­лей про­из­во­дит­ся ровно в от­но­ше­нии 1 : 3. Ведь можно про­из­ве­сти, на­при­мер, 11 де­та­лей типа B и 34 де­та­ли типа А, из них по­лу­чит­ся со­брать 33 из­де­лия, а одна де­таль типа А оста­нет­ся лиш­ней. От­ве­тим на этот во­прос.

Если есть лиш­ние де­та­ли, то умень­шим их число до со­от­но­ше­ния 1 : 3 и от­пра­вим на обед людей, про­из­во­див­ших лиш­ние де­та­ли. Тогда по­лу­чим ре­ше­ние за­да­чи для мень­ше­го числа людей, но с тем же вы­хо­дом про­дук­та и со­от­но­ше­ни­ем де­та­лей 1 : 3. Те­перь вернём людей с обеда. Мень­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий мы не по­лу­чим, по­сколь­ку за­ви­си­мость между чис­лом де­та­лей и ко­ли­че­ством людей не­убы­ва­ю­щая. Боль­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий тоже не до­стичь, по­сколь­ку из лиш­них де­та­лей це­ло­го из­де­лия со­брать не по­лу­чит­ся. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий сов­па­дет с най­ден­ным.

При­ме­ча­ние 2.

За­ме­тим, что если ра­бо­чие вто­ро­го ком­би­на­та будут про­из­во­дить толь­ко де­та­ли типа В, то они про­из­ве­дут их 10 шт. Пусть при этом 89 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 89 де­та­лей типа В, а остав­ши­е­ся 11 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 33 де­та­ли типа А. Тогда всего будет про­из­ве­де­но 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В. Из них также можно со­брать 33 из­де­лия. Таких ва­ри­ан­тов до­воль­но много (см. таб­ли­цу в конце).

При­ме­ча­ние 3.

Можно было бы спро­сить, по­че­му не об­ра­зо­вать из ра­бо­чих вто­ро­го за­во­да 100 не­за­ви­си­мых групп, каж­дая из ко­то­рых со­сто­ит из од­но­го ра­бо­че­го.

При­ведём ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва.

Пусть пер­вый завод вы­пус­ка­ет x де­та­лей В, а вто­рой завод вы­пус­ка­ет y де­та­лей В. Тогда на пер­вом за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет x ра­бо­чих, а де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му пер­вый завод вы­пус­ка­ет де­та­лей А.

На вто­ром за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет ра­бо­чих, де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му вто­рой завод вы­пус­ка­ет де­та­лей A. Здесь   — целая часть числа.

Пусть ком­би­нат вы­пус­ка­ет k из­де­лий. Имеем сле­ду­ю­щие не­об­хо­ди­мые и до­ста­точ­ные усло­вия:

Рас­смот­рим Тогда по­лу­чим:

До­мно­жим вто­рое не­ра­вен­ство на 3 и сло­жим с пер­вым, по­лу­чим: За­ме­тим, что (при ) удо­вле­тво­ря­ют ис­ход­но­му не­ра­вен­ству. То есть ком­би­нат может из­го­то­вить 33 из­де­лия.

Про­ве­рим, может ли он из­го­то­вить боль­ше. Пусть тогда

По­сколь­ку те­перь мы можем счи­тать из вто­ро­го не­ра­вен­ства на­хо­дим Тогда оце­ним: По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие с пер­вым не­ра­вен­ством.

Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное число из­де­лий, ко­то­рое может про­из­ве­сти ком­би­нат, равно 33.

При­ведём таб­ли­цу дру­гих ва­ри­ан­тов, также да­ю­щих 33 из­де­лия.

Ре­ше­ние. а)  Угол BTC впи­сан в окруж­ность, а угол BOC  — со­от­вет­ству­ю­щий ему цен­траль­ный угол. Сле­до­ва­тель­но, ∠BOC  =  2∠BTC.

б)  Из усло­вия ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны AD сле­ду­ет, что пря­мые OT и AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пусть окруж­ность вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке L и сто­ро­ну CD  — в точке M. Тогда диа­метр окруж­но­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ный сто­ро­не AB, делит каж­дую из хорд BL и CM по­по­лам. Обо­зна­чим OT  =  r, тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей  Сле­до­ва­тель­но,

Ана­ло­гич­но

Из тео­ре­мы си­ну­сов сле­ду­ет, что BC = 2r · sin ∠BTC. Пусть h  — ис­ко­мое

рас­сто­я­ние от точки T до пря­мой BC . Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BTC двумя спо­со­ба­ми:

От­сю­да по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что AL боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, а DC мень­ше диа­мет­ра, по­это­му DC < 2AL. В дан­ной за­да­че АВ  =  4, CD  =  9, по­это­му точка В лежит на от­рез­ке AL. При дру­гих чис­ло­вых дан­ных точка В может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка АL за точку L. При­ве­ден­ное ре­ше­ние оста­ет­ся вер­ным и для та­ко­го слу­чая.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Сер­гей Ни­ко­ла­е­ва.

Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AD и ВC, точка S  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки T на пря­мую BC. Тре­уголь­ни­ки DKC и AKB по­доб­ны по двум углам, по­это­му По тео­ре­ме об от­рез­ках се­ку­щей тогда и Тре­уголь­ни­ки KTS и KCD по­доб­ны по двум углам, по­это­му от­ку­да

Еще один спо­соб ре­ше­ния

при­ве­ден нами на сайте Решу ОГЭ в за­да­нии 340855.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что вме­сте с каж­дым ре­ше­ни­ем си­сте­ма имеет также ре­ше­ния По­сколь­ку ре­ше­ний долж­но быть два, по­лу­чен­ные пары долж­ны сов­па­дать.

1.  Если то Тогда от­ку­да

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что при си­сте­ма имеет два ре­ше­ния. При по­лу­ча­ем Эта си­сте­ма имеет толь­ко одно ре­ше­ние.

2.  Если то Тогда этот слу­чай ис­сле­до­ван выше.

3.  Если то Тогда: от­ку­да

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что при си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

4.  Если то   — см. слу­чай 3.

5.  Если то   — см. слу­чай 2.

6.  Если то   — см. слу­чай 1.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

При a  =  0 пер­вое урав­не­ние опи­сы­ва­ет точку (0; 0), а вто­рое оси ко­ор­ди­нат и, зна­чит, си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Даль­ше будем счи­тать, что В этом слу­чае, пер­вое урав­не­ние опи­сы­ва­ет окруж­ность с цен­тром в (0; 0) и ра­ди­у­сом |a|. При a  =  3 вто­рое урав­не­ние снова опи­сы­ва­ет оси ко­ор­ди­нат и, зна­чит, си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния. При вто­рое урав­не­ние может быть пре­об­ра­зо­ва­но в урав­не­ние по­сколь­ку в этом слу­чае ни x, ни y в ноль не об­ра­ща­ют­ся. Это урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

За­ме­тим, те­перь, что обе кри­вые опи­сы­ва­е­мые урав­не­ни­я­ми си­сте­мы сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, зна­чит, два ре­ше­ния си­сте­ма будет иметь толь­ко в слу­чае ка­са­ния окруж­но­сти и ги­пер­бо­лы. Рас­смот­рим урав­не­ние, опи­сы­ва­ю­щее точки их пе­ре­се­че­ния

Сде­ла­ем за­ме­ну тогда, в слу­чае ка­са­ния, урав­не­ние долж­но иметь един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень. За­ме­тим, что если оно имеет корни, то это либо два корня од­но­го знака, либо один ко­рень. Зна­чит, нас ин­те­ре­су­ет слу­чай, когда его дис­кри­ми­нант равен нулю и един­ствен­ный ко­рень при этом по­ло­жи­тель­ный.

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что при a  =  2 и a  =  6 урав­не­ние имеет по­ло­жи­тель­ный ко­рень, a  =  0 не под­хо­дит.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, мог. На­при­мер, если пер­вый с тре­тьим сыг­ра­ли 21 игру, вто­рой с тре­тьим  — 13 игр, а пер­вый со вто­рым  — 4 игры.

б)  Нет, не мог. Дей­стви­тель­но, в таком слу­чае общее число сыг­ран­ных пар­тий было бы равно (25 + 17 + 35)/⁠2  =  38,5 игр  — не целое число.

в)  Нет, не мог. Пусть такое воз­мож­но, тогда тре­тий игрок сыг­рал боль­ше пар­тий, чем пер­вый и вто­рой вме­сте взя­тые (25 + 17 < 56). Но дру­гих со­пер­ни­ков у тре­тье­го не могло быть, по­это­му по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.