1.
i
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
Заголовок:
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
Найдите сумму координат вектора
+ 
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Симметричную игральную кость бросили
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Найдите значение выражения 
если 
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 
см.
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние 
от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
На рисунке изображён график функции
Найдите значение x, при котором 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [−2,5; 0].
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4,
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
Решите неравенство: 
В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что 
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 различных решения.
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов
и гипотенузы 
имеем:
имеет координаты 
вектор 
имеет координаты 
Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Поэтому вектор 
имеет координаты 
Cумма его координат равна 20.
поэтому при увеличении длины ребра на 
площадь S по сравнению с начальной площадью S0 увеличится на 
откуда 
тарелок. Поскольку качественных из них 
вероятность купить качественную тарелку равна
а 
Следовательно, 
график которой изображён на рисунке.
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции 
оси абсцисс. Имеем:
имеем: 
значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность 
в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого 
которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя 
Поэтому 
откуда
см.
откуда имеем: 
Тогда
Решим уравнение 
:
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: 
Из неё следует, что 
Поэтому из исходного уравнения получаем:
б) 
б) 
Опустим перпендикуляр из 
Значит, 
Следовательно, треугольники 
Поскольку BN : NO = 3 (по теореме о точке пересечения медиан), а 
(по условию), заключаем, что 
то есть 
Значит, отрезок NK — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку BN = SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.
Из треугольника SOB получим 
Тогда в треугольнике KNB
Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые 
Пусть 
Тогда неравенство системы принимает вид: 
Значит, 
Тогда на второй объект будет направлено 
рабочих — суточная заработная плата составит 
В день начальник будет должен платить рабочим 
у. е. 
Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x0 = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:
Кроме того, 
Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, 
как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.
а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что 
Значит, B — середина CP.
поэтому 
а так как 
AD — средняя линия треугольника BQP. Значит, 
и 
перпендикулярны по условию, так как являются направляющими векторами для соответствующих перпендикулярных прямых, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
тогда 
Значит, 
что и требовалось доказать.
Значит, точка P имеет координаты (0; 2m). Зная координаты точек, принадлежащих прямым BK и AP, найдём уравнения этих прямых:
и Q равно
Значит, треугольник CMA равнобедренный. Поэтому угол BAC равен углу ACM. Следовательно,
то есть 
поэтому 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
и по теореме Пифагора 
По тереме синусов с учётом свойств вертикальных и смежных углов получаем: 
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: 
и 
— точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.
что больше 
Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку 
но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.
мальчиков, посетивших театр, 
мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
Тогда 
поэтому доля девочек в группе:
