Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 4 № 320200

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Спрятать решение

Решение.

Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9n плюс 0,2 умножить на 0,1n=0,92n тарелок. Поскольку качественных из них 0,9n, вероятность купить качественную тарелку равна

 дробь, числитель — 0,9n, знаменатель — 0,92n = дробь, числитель — 90, знаменатель — 92 = 0,978...

Округляя результат до сотых, получаем 0,98.

Ответ: 0,98.

 

Приведем решение с помощью числового моделирования.

Пусть на фабрике произведено 1000 тарелок. Из них 10%, то есть 100 штук, имеют дефект. Из этих 100 штук система контроля выявит 80%, то есть 80 штук. Остальные 20 тарелок с дефектами поступят в продажу. Таким образом, в продажу поступят 900 тарелок без дефектов и 20 тарелок с дефектами, всего 920 штук. Вероятность того, что выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, составит

 дробь, числитель — 900, знаменатель — 920 =0,978...

Округляя результат до сотых, получаем 0,98.

Классификатор базовой части: 6.3.1 Вероятности событий, 6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 06.05.2013 14:25

Не могу найти ошибку:

0,1*0,2=0,02 -- вероятность того, что в магазин пришла тарелка с дефектом.

1-0,02=0,98 -- вероятность того, что в магазине тарелка без дефекта.

Ответ: 0,98.

Служба поддержки

В магазине на 2% дефектных тарелок, приходится не 98%, а только 90% качественных. (Остальные отбраковали на заводе, до магазина они не дошли.)

Юрий Михайлов 29.04.2017 19:11

Задача составлена, увы, некорректно. Вот цитата из книги академика Б.В. Гнеденко: "Математика и контроль качества продукции", М., Знание, 1978, страница 19: "Для того, чтобы контроль не ухудшал качества принятых партий ...производится следующая операция. Если контроль разрушающий, то из запаса хороших партий в принятые партии добавляется столько изделий, сколько извлечено для контроля. Если же контроль неразрушающий, то на годные изделия заменяются те, которые признаны дефектными. В результате этой операции состав партии улучшается". Пример: в партии из 100 тарелок 10 тарелок дефектные. 8 из них забракованы ОТК. Для сохранения целостности партии нужно эти 8 тарелок заменить годными, и тогда решение Гостя формально оказывается верным: делим 98 на 100 и получает точно 0.98, а не приблизительно.

Служба поддержки

Академик Б. В. Гнеденко рассматривает другую ситуацию — производство многих партий одинаковых изделий. А по условию этой задачи, была произведена всего одна партия тарелок: настроили оборудование, произвели 10 тысяч тарелок с золотым ободком, потом перенастроили оборудование и стали производить 10 тысяч тарелок без ободка. Изъятые тарелки нечем заменить.

Аракелян Арутюн 30.12.2017 10:43

Здравствуйте, предлагаю, на мой взгляд, более лёгкое решение.

 

На фабрике произвели 0,1 от общего количества тарелок, имеющих дефект, контроль выявил 80% из них. Следовательно, количество тарелок с дефектами уменьшилось в 5 раз. Поэтому 0,1 : 5 = 0,02 — вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект. Вероятность противоположного события 1 − 0,02 = 0,98. Ответ: 0,98.

Служба поддержки

В этом решении допущена ошибка (поэтому и ответ неверный).

Петр Дарьин 01.10.2018 09:53

Величина 0,02 в решени Арутюна — вероятность того, что тарелка с дефектом не выявлена на заводе, а спрашивают вероятность того, что выбранная в магазине тарелка будет иметь дефект. Она рассчитывается иначе.

 

Введём обозначения для событий:

A = «Тарелка не имеет дефектов», ~A = «Тарелка имеет дефекты»,

B = «Тарелка поступила в продажу», ~B = «Тарелка не поступила в продажу».

События A и ~A, В и ~В соответственно противоположные, поэтому P(~A) = 1 − P(A) и P(~В) = 1 − P(В).

 

Напомним, что условная вероятность P(A|B) — вероятность события A, при условии, что наступило событие B. Заметим, что:

 

P(B|A) = 1 (все тарелки без дефектов поступают в продажу),

P(~A) = 0,1 (дефектных тарелок 10%),

P(A) = 1 − P(~A) = 1 − 0,1 = 0,9 (качественных тарелок 90%),

P(~B|~A) = 0,8 (тарелка дефектная, в продажу не поступила),

P(B|~A) = 1 − P(~B|~A) = 1 − 0,8 = 0,2 (тарелка дефектная, поступила в продажу),

 

Найдем P(B) по формуле полной вероятности: P(B) = P(B|A) умножить на P(A) плюс P(B|\sim A) умножить на P( \sim A) = 1 умножить на 0,9 плюс 0,2 умножить на 0,1 = 0,92.

 

Найдем искомую условную вероятность P(A|B) того, что выбранная при покупке тарелка не имеет дефекта и поступила в продажу, по формуле Байеса:

 

P(A|B) = P(B|A) дробь, числитель — P(A), знаменатель — P(B) = 1 умножить на дробь, числитель — 0,9, знаменатель — 0,92 = дробь, числитель — 90, знаменатель — 92 = дробь, числитель — 45, знаменатель — 46 .

 

Юрий Михайлов 13.05.2021 09:34

Академик Б.В. Гнеденко рассматривает, в частности, и экспериментальные партии тоже, с увы, разрушающим контролем. Поэтому для корректной постановки задачи в условии нужно было отметить, что партия именно экспериментальная, а учителя должны объяснять ученикам, что контроль в данном случае именно разрушающий. Желательно, устно, поскольку слово "разрушающий", да ещё в печатном виде, увы, производит негативное впечатление ввиду отсутствия этого термина в школьной программе.