Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Прямая BO вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что радиус его описанной окружности равен 8, а 
а) Точка O — центр вписанной окружности, поэтому прямая BO — биссектриса угла ABC. По лемме о трезубце расстояния от точки пересечения биссектрисы угла треугольника с его описанной окружностью до двух других вершин и инцентра равны. Поэтому треугольник APO равнобедренный. Откуда следует, что
б) По обобщённой теореме синусов
откуда 
Опустим из P перпендикуляр PH на AC. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне лежит на описанной окружности этого треугольника, поэтому отрезок PH — серединный перпендикуляр к стороне AC. Четырехугольник ABCP вписанный, значит,
Отрезок PH — серединный перпендикуляр к стороне AC, поэтому
Тогда площадь треугольника APC равна 
Ответ: б) 
-------------
Дублирует задание № 660702.Спрятать критерии