Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны. По­это­му

Ответ: 146.

Ре­ше­ние. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно

Ответ: 82.

Ре­ше­ние. Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна пло­ща­ди боль­шо­го круга впи­сан­но­го шара, а вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру впи­сан­но­го шара. По­это­му

Ответ: 75.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия A  =  «уча­щий­ся решит 9 задач» и В  =  «уча­щий­ся решит боль­ше 9 задач». Их сумма  — со­бы­тие A + B  =  «уча­щий­ся решит боль­ше 8 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,75  =  P(A) + 0,63, от­ку­да P(A)  =  0,75 − 0,63  =  0,12.

Ответ: 0,12.

Ре­ше­ние. Усло­вию, что при дву­крат­ном брос­ке иг­раль­ной кости шесть очков не вы­па­ли ни разу, со­от­вет­ству­ет 25 ис­хо­дов (от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том). Со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 8» со­от­вет­ству­ет 3 из них (от­ме­че­ны зелёным цве­том). Зна­чит, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,12.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Точке мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ет из­ме­не­ние знака про­из­вод­ной с плюса на минус. По­это­му

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Найдём, при каком уско­ре­нии гон­щик до­стиг­нет тре­бу­е­мой ско­ро­сти, про­ехав 1,1 км. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­нии длины пути км:

Если его уско­ре­ние будет пре­вос­хо­дить най­ден­ное, то, про­ехав один ки­ло­метр, гон­щик наберёт боль­шую ско­рость, по­это­му наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое уско­ре­ние равно 5500 км/ч².

Ответ: 5500.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч  — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым, тогда ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна км/ч. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на 4 часа рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Зна­чит, пер­вым фи­ни­ши­ро­вал ве­ло­си­пе­дист, дви­гав­ший­ся со ско­ро­стью 14 км/ч.

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  −3, c  =  2. Тогда

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет AA₁ в точке M. Тогда пря­мые MK и AC лежат в одной плос­ко­сти. Если пря­мые MK и AC пе­ре­се­ка­ют­ся, то плос­кость B₁KD и пря­мая AC имеют хотя бы одну общую точку, а это не­воз­мож­но. Зна­чит, пря­мая MK па­рал­лель­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния AC, а по­то­му Тре­уголь­ни­ки B₁C₁K и AMD равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му Зна­чит, K  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Пусть N  — се­ре­ди­на BB₁, а L  — се­ре­ди­на DD₁. Тогда MN па­рал­лель­на AB и KL па­рал­лель­на CD. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Най­дем объем пи­ра­ми­ды BMKD:

Най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка KMD:

Тогда где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. На­хо­дим:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние ме­то­дом ко­ор­ди­нат (Алек­сандр Тур­ба­нов, Ли­пецк).

а)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, оси на­пра­вим вдоль ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Пусть точка T  — се­ре­ди­на СС₁, тогда Пусть  α  — плос­кость, про­хо­дя­щая через точки B₁ и D па­рал­лель­но сто­ро­не AC. Урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид где   — нор­маль к плос­ко­сти α. Плос­кость  α па­рал­лель­на сто­ро­не AC, по­это­му то есть За­пи­шем си­сте­му:

от­ку­да на­хо­дим, что: и Тогда а по­то­му урав­не­ние плос­ко­сти  α при­ни­ма­ет вид

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки T в най­ден­ное урав­не­ние, на­хо­дим:

Ра­вен­ство верно, по­это­му точка T при­над­ле­жит плос­ко­сти α и сов­па­да­ет с точ­кой K, а зна­чит, плос­кость α пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CC₁ в се­ре­ди­не.

б)  По фор­му­ле рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти на­хо­дим:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

При­ведём дру­гой спо­соб.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать x² часов, тогда они про­из­ве­дут х еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим пер­во­го за­во­да пойдёт 200x² руб­лей. Пусть на вто­ром за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать y² часов, тогда они про­из­ве­дут y еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим вто­ро­го за­во­да пойдёт 300y² руб­лей. Тогда

Общее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра, про­из­во­ди­мое двумя за­во­да­ми, равно

где Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S(y) для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной. Возьмём про­из­вод­ную:

Найдём ста­ци­о­нар­ные точки:

От­ме­тим на ри­сун­ке про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти функ­ции:

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма:

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. а)  Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как впи­сан­ные, зна­чит, углы тоже BAH и BB₁C₁ тоже равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Тре­бу­ет­ся вы­чис­лить длину от­рез­ка OD. За­ме­тим, что

Угол BOС равен удво­ен­но­му углу BAC, то есть 120°. Сле­до­ва­тель­но, угол OBD равен 30°. Най­дем ис­ко­мое рас­сто­я­ние:

Ответ: б) 10.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ка­ми урав­не­ний яв­ля­ют­ся пря­мые и При не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях x не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют точки, ле­жа­щие од­но­вре­мен­но не ниже пря­мой и не выше пря­мой Ре­ше­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы на от­рез­ке [0; 1] вы­де­ле­но оран­же­вым цве­том. Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния пря­мых найдём из урав­не­ний:

Зна­чит,

Ана­ли­зи­руя гра­фик, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 1]

—  при не имеет кор­ней;

—  при имеет один ко­рень;

—  при имеет два корня;

—  при имеет один ко­рень;

—  при не имеет кор­ней.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 1] имеет один ко­рень при или при

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что число крат­но 45 тогда и толь­ко тогда, когда оно крат­но 5 и 9. Зна­чит, цифры 0 и 5 стоят у этих чисел на конце, а сумма цифр каж­до­го из них крат­на 9.

а)  Да. На­при­мер ,

б)  Нет, по­сколь­ку число 3435 не крат­но 9, и по­то­му не может быть сум­мой двух чисел, крат­ных 9.

в)  За­ме­тим, что До­ка­жем, что это наи­боль­шая воз­мож­ная сумма. Как уже уста­нов­ле­но, цифры 0 и 5 стоят в раз­ря­де еди­ниц. Если в раз­ря­де тысяч стоит не 9, то сумма не пре­вос­хо­дит

Если в раз­ря­де сотен стоят не цифры 3 и 7, то сумма не пре­вос­хо­дит

Если же в раз­ря­де сотен стоят цифры 3 и 7, то в раз­ря­де де­сят­ков толь­ко остав­ши­е­ся 1 и 2 и сумма тогда равна

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10035.