PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка E так, что AE = 6, EC = 4. Площадь треугольника ABE равна 15. Найдите площадь треугольника BEC.
Кусок льда представляет собой правильную шестиугольную призму высотой 12 см. Его планируют расплавить и вновь заморозить так, чтобы получилась правильная треугольная призма, сторона основания которой в 2 раза больше стороны основания исходной. Чему будет равна её высота? Ответ дайте в сантиметрах.
Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что выпавшие значения различны. Ответ округлите до сотых.
Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, все цифры которого различны и нечётны. У Пети разряжен телефон. Какова вероятность того, что он случайно угадает код? Ответ округлите до тысячных.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Найдите значение выражения 
при a = 27.
На рисунке изображён график
— производной функции f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите абсциссу точки графика y = f(x), в которой касательная к графику функции параллельна прямой y = x − 2 или совпадает с ней.
Площадь треугольника вычисляется по формуле 
где b и с — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Найдите угол α в остроугольном треугольнике, для которого 
c = 6, а S = 12. Ответ дайте в градусах.
После смешения двух растворов, первый из которых содержал 48 г кислоты, а второй содержал 20 г такой же кислоты, получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию первого раствора (в процентах), если известно, что она на 15 больше концентрации второго (в процентах).
На рисунке изображён график функции вида
где a и b целые числа. Найдите значение f(5).
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA = SL : LC = 2 : 1 и SM = MD.
а) Докажите, что плоскость KML содержит точку B.
б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 21, а высота пирамиды SABCD равна 12.
Решите неравенство 
15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 2 млн рублей. Условия его возврата следующие:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— платёж должен вноситься один раз в месяц, со 2-го по 14-е число каждого месяца;
— 15-го числа каждого месяца размер долга должен соответствовать долгу, указанному в таблице.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 2 | 1,6 | 1,3 | 1 | 0,7 | 0,3 | 0 |
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма платежей больше 3 млн рублей.
Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC переcекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.
а) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB = 8, 
AC = 7.
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
Бесконечная геометрическая прогрессия b1, b2, ..., bn, ... состоит из различных натуральных чисел. Пусть S1 = b1 и Sn = b1 + b2 + ... + bn при всех натуральных 
а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 которой ровно два числа делятся на 40?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 которой ровно три числа делятся на 40?
в) Какое наибольшее количество чисел среди S1, S2, ..., S8 может делиться на 40, если известно, что S1 на 40 не делится?
Площадь основания правильной треугольной призмы со стороной 2a равна 
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Объемы шестиугольной и треугольной призм равны, откуда на искомую высоту h получаем уравнение:
Осталось найти, при каких x производная принимает значение 1. Искомая точка x0 = 3 (см. рис.).
Пусть концентрация первого раствора равна x, тогда концентрация второго раствора равна x − 0,15, где x > 0,15. Поскольку, смешав растворы, получили 200 г смеси, можно составить уравнение:
Из графика находим, что 
Тогда угловой коэффициент
получаем, что 
Значит, 
а потому
при помощи тригонометрической окружности. Подходит число: 
б) 
Следовательно, 
Аналогично получаем, что 
поэтому треугольники PAB и BCQ равны. Имеем:
Поскольку пирамиды BMKDA и BSDA имеют общую высоту, получаем:
Тогда 
(изначальный долг в 2 млн рублей увеличится в k раз, а во втором месяце на счету должно остаться 1,6 млн руб.). Аналогично, имеем: 
получаем неравенство:
значит, 
Тогда 
тогда по обратной теореме Пифагора: 
Откуда находим: 
Тогда:
тогда 
то 
где R — радиус окружности, описанной около четырехугольника BDOK. Тогда: 
Тогда 
и неравенство принимает вид
знаменатель положителен. Если 
то 
поэтому достаточно найти все а, при каждом из которых неравенство
при всех 
тогда и только тогда, когда 
Решим эту систему:
кратны. Тогда bq2 кратно 40. При этом bq не кратно 40, иначе b + bq не могло бы быть ему кратно. Значит, q четно. Тогда и b четно (ведь b + bq четно). Тогда bq кратно 4 (произведение двух четных чисел), а тогда и b кратно 4 (ведь b + bq кратно 4). Но тогда ситуация bq2 кратно 40, bq не кратно 40 невозможна — оба числа кратны 8 и либо оба кратны пяти, либо оба не кратны пяти.