PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. По основному тригонометрическому тождеству
Обозначим 
тогда
Вернемся к исходной переменной, получим:
Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни 
Ответ: а) 
б)
Примечание.
Мы решили уравнение 
записав левую часть в виде полного квадрата 
Можно было найти дискриминант 
и прийти к выводу, что уравнение имеет единственный корень
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
а значит, прямая CD параллельна плоскости ABP и поэтому CD не имеет общих точек с прямой PK, лежащей в плоскости сечения. Так как PK и CD не имеют общих точек и лежат в плоскости SCD, они параллельны.
и 
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
и 
откуда следует, что четырехугольник ADNL — прямоугольник и 
то есть L — середина AB.
Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым LN и SL, она перпендикулярна плоскости SNL, а раз AB лежит в плоскости ABS, плоскости ABS и SNL перпендикулярны. Тогда перпендикуляры NT и EF к плоскости ABS из точек N и E плоскости SNL попадут на прямую их пересечения SL.
) и катету (
), поэтому другие катеты SN и SL также равны. Рассмотрим равнобедренный треугольник SNL, в котором 
основание 
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём
откуда 
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
получим:
Имеем:
тыс. руб., вторая выплата равна 
тыс. руб., третья выплата равна 
тыс. руб. В следующие три года выплаты равны соответственно: 
тыс. руб., 
тыс. руб. и 
тыс. руб. Общая сумма выплат составляет: 
откуда 
при 
Для того чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы:
имело два решения, отличных от 
При 
уравнение имеет решение 
что не равно 
Следовательно, искомое уравнение имеет решения 
и 
уравнение имеет два решения, если
откуда 
что возможно, например, для числа 110.
откуда 
При 
имеем 
то остаются три варианта:
—
—
—
нас интересует минимум выражения 
При 
имеем 
При 
имеем 
поэтому получить меньше 37 при таких условиях нельзя.