Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD. На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O, касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q — середина стороны CD.
а) Докажите, что OQDH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 60°, BC = 2.
а) Треугольник AOH равнобедренный и трапеция ABCD равнобедренная, поэтому ∠AHO = ∠OAH = ∠CDA. Значит, прямые OH и CD параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и AD. Противоположные стороны четырёхугольника DQOH попарно параллельны, следовательно, DQOH — параллелограмм.
б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны CD в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и AHB имеем
Поэтому
Пусть AH = x. Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, AD = 2AH + BC, DH = AH + BC = x + 2. Тогда
откуда 
Значит,
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Добрыни Меркурьева.
Из пункта а) известно, что 
и что OQ — средняя линия трапеции. Следовательно, 
Треугольник AOH — равнобедренный, AH = R. В параллелограмме противоположные стороны равны: HD = OQ. Кроме того 
то есть 
Получаем:
Таким образом,
