СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519904

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. На сто­ро­не AB как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность с цен­тром в точке O, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны CD и по­втор­но пе­ре­се­ка­ю­щая ос­но­ва­ние AD в точке H. Точка Q — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD.

а) До­ка­жи­те, что OQDH — па­рал­ле­ло­грамм.

б) Най­ди­те AD, если ∠BAD = 60°, BC = 2.

Решение.

а) Треугольник AOH равнобедренный и трапеция ABCD равнобедренная, поэтому ∠AHO = ∠OAH = ∠CDA. Значит, прямые OH и CD параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и AD. Противоположные стороны четырёхугольника DQOH попарно параллельны, следовательно, DQOH — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны CD в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и KHB имеем

Поэтому

Пусть AH = x. Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, AD = 2AH + BC; DH = AH + BC = x + 2.

Тогда

откуда . Значит, .

 

Ответ: б) .


Аналоги к заданию № 512338: 512380 509204 510074 519904 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники