Летом ки­ло­грамм клуб­ни­ки стоит 80 руб­лей. Мама ку­пи­ла 1 кг 200 г клуб­ни­ки. Сколь­ко руб­лей сдачи она по­лу­чит с 500 руб­лей?

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­бро­сов уг­ле­кис­ло­го газа в ат­мо­сфе­ру в 10 стра­нах мира (в мил­ли­о­нах тонн) за 2006 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­бро­су уг­ле­кис­ло­го газа в ат­мо­сфе­ру за­ни­ма­ли США, де­ся­тое место  — Ка­зах­стан. Какое место за­ни­мал Китай?

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В со­рев­но­ва­нии по би­ат­ло­ну участ­ву­ют спортс­ме­ны из 25 стран, одна из ко­то­рых  — Рос­сия. Всего на старт вышло 60 участ­ни­ков, из ко­то­рых 6  — из Рос­сии. По­ря­док стар­та опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем, стар­ту­ют спортс­ме­ны друг за дру­гом. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что де­ся­тым стар­то­вал спортс­мен из Рос­сии?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Угол ACB равен 42°. Гра­дус­ная ве­ли­чи­на дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна 124°. Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке x₀. Урав­не­ние ка­са­тель­ной по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке x₀.

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 6. Какой ста­нет пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы, если все её рёбра уве­ли­чат­ся в три раза, а форма оста­нет­ся преж­ней?

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся вра­ща­ю­ща­я­ся ка­туш­ка. Она со­сто­ит из трeх од­но­род­ных со­ос­ных ци­лин­дров: цен­траль­но­го мас­сой кг и ра­ди­у­са см, и двух бо­ко­вых с мас­са­ми кг и с ра­ди­у­са­ми При этом мо­мент инер­ции ка­туш­ки от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, вы­ра­жа­е­мый в даeтся фор­му­лой При каком мак­си­маль­ном зна­че­нии h мо­мент инер­ции ка­туш­ки не пре­вы­ша­ет пре­дель­но­го зна­че­ния 625 ? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 80 км/⁠ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 36 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ци­лин­дре об­ра­зу­ю­щая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. На окруж­но­сти од­но­го из ос­но­ва­ний ци­лин­дра вы­бра­ны точки A, B и C, а на окруж­но­сти дру­го­го ос­но­ва­ния  — точка C₁, причём CC₁  — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра, а AC   — диа­метр ос­но­ва­ния. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми и BC равен

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка I  — центр окруж­но­сти S₁, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, точка O  — центр окруж­но­сти S₂, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BIC.

а)  До­ка­жи­те, что точка O лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла BAC, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­но­сит­ся к ра­ди­у­су окруж­но­сти S₂ как 3 : 5.

За­ви­си­мость объёма Q (в шт.) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены Р (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой Доход от про­да­жи то­ва­ра со­став­ля­ет РQ руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. При­быль равна раз­но­сти до­хо­да от про­да­жи то­ва­ра и за­трат на его про­из­вод­ство. Стре­мясь при­влечь вни­ма­ние по­ку­па­те­лей, фирма умень­ши­ла цену то­ва­ра на 20%, од­на­ко её при­быль не из­ме­ни­лась. На сколь­ко про­цен­тов сле­ду­ет уве­ли­чить сни­жен­ную цену, чтобы до­бить­ся наи­боль­шей при­бы­ли?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Вася пе­ре­мно­жил не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел из от­рез­ка [23; 84]. Петя уве­ли­чил каж­дое из Ва­си­ных чисел на 1 и пе­ре­мно­жил все по­лу­чен­ные числа.

а)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно вдвое боль­ше Ва­си­но­го?

б)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно в 6 раз боль­ше Ва­си­но­го?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз Петин ре­зуль­тат может быть боль­ше Ва­си­но­го?