Сто­и­мость по­лу­го­до­вой под­пис­ки на жур­нал со­став­ля­ет 450 руб­лей и сто­и­мость од­но­го жур­на­ла 24 рубля. За пол­го­да Аня ку­пи­ла 25 но­ме­ров жур­на­ла. На сколь­ко руб­лей мень­ше она бы по­тра­ти­ла, если бы под­пи­са­лась на жур­нал.

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки алю­ми­ния в 10 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2009 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке алю­ми­ния за­ни­мал Бах­рейн, де­ся­тое место  — Новая Зе­лан­дия. Какое место за­ни­ма­ла Ис­лан­дия?

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 1), (10; 1), (3; 7), (1; 7).

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 3 спортс­ме­на из Дании, 6 из Шве­ции, 4 из Нор­ве­гии и 7 из Фин­лян­дии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Нор­ве­гии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

В тре­уголь­ни­ке ABC AC  =  BC  =  27, AH  — вы­со­та, Най­ди­те BH.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке [4; 9].

В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Нм) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где − сила тока в рамке, Тл  — зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля, м  — раз­мер рамки, − число вит­ков про­во­да в рамке, − ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 1,75 Н · м?

То­вар­ный поезд каж­дую ми­ну­ту про­ез­жа­ет на 750 мет­ров мень­ше, чем ско­рый, и на путь в 560 км тра­тит вре­ме­ни на 4 часа боль­ше, чем ско­рый. Най­ди­те ско­рость то­вар­но­го по­ез­да. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁P и QB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку P и пер­пен­ди­ку­ляр­ной пря­мой BQ, если ребро куба равно 10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100, AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK.

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 19 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 18-й долг дол­жен быть на 50 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 15-му числу 19-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 18-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1209 тысяч руб­лей?

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На доске были на­пи­са­ны не­сколь­ко целых чисел. Не­сколь­ко раз с доски сти­ра­ли по два числа, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 3.

а)  Может ли сумма всех остав­ших­ся на доске чисел рав­нять­ся 7, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10?

б)  Может ли на доске остать­ся ровно два числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 51, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 101 до 200 вклю­чи­тель­но?

в)  Пусть из­вест­но, что на доске оста­лось ровно два числа, а из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 101 до 200 вклю­чи­тель­но. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них?