Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 16% и со­ста­ви­ла 3480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

Би­ат­ло­нист че­ты­ре раза стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые два раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ражён круг. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 6 уче­ных из Гер­ма­нии, 6 из Нор­ве­гии и 3 из Бель­гии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что седь­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Гер­ма­нии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Мень­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно 23. Вы­со­та тра­пе­ции равна 39. Тан­генс остро­го угла равен  Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−1; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке [4; 8].

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной м и со ско­ро­стью те­че­ния м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

Ком­па­ния «Альфа» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 4000 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль, ко­то­рая со­став­ля­ла 100% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния «Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2004 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 4500 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2005 года, еже­год­но по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла дру­гой к концу 2007 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром AB  =  5,

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно рас­сто­я­нию между пря­мы­ми BD и

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра AD пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD₁, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Дан тре­уголь­ник АВС. Точка О  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти. На сто­ро­не ВС от­ме­че­на такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АВ и ОM па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка АВMО, если угол AСB пря­мой и АС  =  4.

Пла­ни­ру­ет­ся вы­дать льгот­ный кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на пять лет. В се­ре­ди­не каж­до­го года дей­ствия кре­ди­та долг заёмщика воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с на­ча­лом года. В конце 1-⁠го, 2-⁠го и 3-⁠го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, остав­ляя долг не­из­мен­но рав­ным пер­во­на­чаль­но­му. В конце 4-⁠го и 5-⁠го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая весь долг пол­но­стью. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат заёмщика будет мень­ше 7 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске на­пи­са­ны цифры 111111222222 (шесть 1 и шесть 2). Арина со­ста­ви­ла из этих две­на­дца­ти цифр 5 по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не крат­но 3.

а)  Может ли среди со­став­лен­ных Ари­ной чисел быть ровно три трёхзнач­ных?

б)  Может ли быть среди со­став­лен­ных Ари­ной чисел быть хотя бы одно ше­сти­знач­ное?

в)  Пусть P  — наи­боль­шее из со­став­лен­ных Ари­ной чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать P.