Же­лез­но­до­рож­ный билет для взрос­ло­го стоит 840 руб­лей. Сто­и­мость би­ле­та для школь­ни­ка со­став­ля­ет 50% от сто­и­мо­сти би­ле­та для взрос­ло­го. Груп­па со­сто­ит из 18 школь­ни­ков и 3 взрос­лых. Сколь­ко руб­лей стоят би­ле­ты на всю груп­пу?

Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А. иг­ра­ет чёрными, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ражён круг. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 3 дня. Всего за­яв­ле­но 80 вы­ступ­ле­ний  — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 8 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно 18. Бо­ко­вая сто­ро­на равна 3. Синус остро­го угла равен Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик не­ко­то­рой функ­ции Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те опре­де­лен­ный ин­те­грал

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью  м/с под ост­рым углом к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью  (м/с), где  кг  — масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а  кг  — масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,3 м/с?

Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра SD, а точка L  — се­ре­ди­ной сто­ро­ны BC ос­но­ва­ния ABCD. Плос­кость AKL пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AKL и ABC, если AB  =  10, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 20.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На окруж­но­сти с цен­тром O и диа­мет­ром MN, рав­ным 26, взята точка K на рас­сто­я­нии 12 от этого диа­мет­ра. Хорда KE пе­ре­се­ка­ет ра­ди­ус OM в точке F под углом, рав­ным

а)  До­ка­жи­те, что KF : FE  =  25 : 17.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KEN.

Сер­гей пла­ни­ру­ет 17-го де­каб­ря 2025 года взять кре­дит в банке на 1 200 000 руб­лей на 16 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  3-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на целое число r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  с 4-го по 16-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  17-го числа каж­до­го ме­ся­ца, с ян­ва­ря 2026 года по март 2027 года, долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 17-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 17-му марта 2027 года долг дол­жен быть равен 150 000 руб­лей;

—  к 17-му ап­ре­ля 2027 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1 632 000 руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске было на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 2, но не пре­вос­хо­дит 42. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 6. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­ше пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись мень­ше 2, с доски стер­ли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, боль­ше 10?

б)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске ока­зать­ся боль­ше 8, но мень­ше 9?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.