Кли­ент взял в банке кре­дит 12 000 руб­лей на год под 16%. Он дол­жен по­га­шать кре­дит, внося в банк еже­ме­сяч­но оди­на­ко­вую сумму денег, с тем чтобы через год вы­пла­тить всю сумму, взя­тую в кре­дит, вме­сте с про­цен­та­ми. Сколь­ко руб­лей он дол­жен вно­сить в банк еже­ме­сяч­но?

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,9. Лампы пе­ре­го­ра­ют не­за­ви­си­мо друг от друга. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ражён круг. Ка­ко­ва пло­щадь круга, если пло­щадь за­штри­хо­ван­но­го сек­то­ра равна 77?

За круг­лый стол на 9 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 7 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 7 и 18. Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = F(x)  — одной из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−4; 3). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x) = 0 на от­рез­ке [−3; 1].

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ско­рость ко­леб­лю­ще­го­ся на пру­жи­не груза ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время в се­кун­дах. Какую долю вре­ме­ни из пер­вой се­кун­ды ско­рость дви­же­ния была не менее 3,5 см/с? Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 210 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но за де­вя­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 14 дней.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  2 : 3, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 4, а точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AB  =  4, AD  =  4, AA₁  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью EFT и плос­ко­стью BB₁C₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а)  До­ка­жи­те, что угол ABK равен углу ANK.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что и

Свет­ла­на Ми­хай­лов­на взяла кре­дит в банке на 4 года на сумму 4 420 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы: в конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет те­ку­щую сумму долга на 10%. Свет­ла­на Ми­хай­лов­на хочет вы­пла­тить весь долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми  — в конце вто­ро­го и чет­вер­то­го годов. При этом пла­те­жи в каж­дом слу­чае вы­пла­чи­ва­ют­ся после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит каж­дый из этих пла­те­жей?

Найти все зна­че­ния х, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся хотя бы при одном зна­че­нии а, при­над­ле­жа­щем от­рез­ку [−1; 2].

На доске раз­ре­ша­ет­ся в одну стро­ку так на­пи­сать раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел чтобы для лю­бо­го число рав­ня­лось либо сумме, либо раз­но­сти, либо про­из­ве­де­нию, либо част­но­му взя­тых в не­ко­то­ром по­ряд­ке чисел и a_k. На­при­мер, этим пра­ви­лам удо­вле­тво­ря­ют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, на­пи­сан­ные в ука­зан­ном по­ряд­ке.

а)  Можно ли по этим пра­ви­лам так на­пи­сать n  =  5 чисел, чтобы среди них в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ти­лись че­ты­ре числа 1, 2, 3 и 4?

б)  Можно ли по этим пра­ви­лам так на­пи­сать n  =  4 не­чет­ных числа, чтобы среди них в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ти­лись три числа 3, 5 и 7?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать n, если на доске в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ча­ют­ся числа 1, 2 и 8?