Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 70 мг и со­дер­жит 4% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,05 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте пяти ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

Се­ме­на под­сол­неч­ни­ка рас­фа­со­вы­ва­ют в па­ке­ты по 1 кг. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном па­ке­те масса семян ока­жет­ся мень­ше, чем 1050 г, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что масса ока­жет­ся боль­ше, чем 970 г, равна 0,94. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что масса семян в этом па­ке­те ока­жет­ся в ин­тер­ва­ле от 970 г до 1050 г.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ражён круг. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 5 уче­ных из Ав­стрии, 4 из Гер­ма­нии и 6 из Сер­бии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что де­ся­тым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Сер­бии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 6 и 12. Бо­ко­вые сто­ро­ны равны 5. Най­ди­те синус остро­го угла тра­пе­ции.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  F(x)  — одной из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x)  =  0 на от­рез­ке [−2; 4].

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ско­рость ко­леб­лю­ще­го­ся на пру­жи­не груза ме­ня­ет­ся по за­ко­ну  (см/с), где t  — время в се­кун­дах. Какую долю вре­ме­ни из пер­вых трех се­кунд ско­рость дви­же­ния пре­вы­ша­ла 5 см/с? Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

Лене надо под­пи­сать 972 от­крыт­ки. Еже­днев­но она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Лена под­пи­са­ла 20 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за седь­мой день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 18 дней.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точка K лежит на ребре AB и делит его в от­но­ше­нии AK : KB  =  3 : 1. Точка L  — се­ре­ди­на ребра BC. Плос­кость α про­хо­дит через точки K и L и пе­ре­се­ка­ет ребра B₁C₁ и A₁B₁ в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что B₁M : MC₁  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что MN ⊥ AB.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если все рёбра приз­мы равны.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На окруж­но­сти с цен­тром O и диа­мет­ром MN, рав­ным 34, взята точка K на рас­сто­я­нии 15 от этого диа­мет­ра. Хорда KE пе­ре­се­ка­ет ра­ди­ус OM в точке F под углом, рав­ным

а)  До­ка­жи­те, что KF : FE  =  125 : 29.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KEN.

15 де­каб­ря 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 6 мил­ли­о­нов руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2027 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равна общая сумма пла­те­жей в 2027 году?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На доске были на­пи­са­ны не­сколь­ко целых чисел. Не­сколь­ко раз с доски сти­ра­ли по два числа, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 3.

а)  Может ли сумма всех остав­ших­ся на доске чисел рав­нять­ся 7, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10?

б)  Может ли на доске остать­ся ровно два числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 51, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 101 до 200 вклю­чи­тель­но?

в)  Пусть из­вест­но, что на доске оста­лось ровно два числа, а из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 101 до 200 вклю­чи­тель­но. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них?