При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 5%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 400 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков диа­мет­ром 75 мм ве­ро­ят­ность того, что диа­метр будет от­ли­чать­ся от за­дан­но­го не боль­ше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ный под­шип­ник будет иметь диа­метр мень­ше чем 74,99 мм или боль­ше чем 75,01 мм.

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ван круг пло­ща­дью 2,8. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра.

На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 30 спортс­ме­нов, среди них 4 пры­гу­на из Гол­лан­дии и 6 пры­гу­нов из Па­раг­вая. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ше­стым будет вы­сту­пать пры­гун из Па­раг­вая.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 6 и 2, боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на со­став­ля­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 45°.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  F(x)  — одной из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x)  =  0 на от­рез­ке [−2; 4].

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ско­рость ко­леб­лю­ще­го­ся на пру­жи­не груза ме­ня­ет­ся по за­ко­ну  (см/с), где t  — время в се­кун­дах. Какую долю вре­ме­ни из пер­вых двух се­кунд ско­рость дви­же­ния пре­вы­ша­ла 3,5 см/с? Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

Биз­не­смен Пе­че­нов по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1 000 000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 16% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Пе­че­нов за 2002 год?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [–6; 0].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 7, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. На про­дол­же­нии ребра SA за точку A от­ме­че­на точка P, а на про­дол­же­нии ребра SB за точку B  — точка Q, причём AP  =  BQ  =  SA.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и CPQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Дан тре­уголь­ник АВС. Точка О  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти. На сто­ро­не ВС от­ме­че­на такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АВ и ОM па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка АВMО, если угол AСB пря­мой и АС  =  4.

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на пять лет в раз­ме­ре 220 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­щею года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся рав­ным 220 тысяч руб­лей;

  — вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны;

  — к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что долг будет вы­пла­чен пол­но­стью и общий раз­мер вы­плат со­ста­вит 420 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 159. Для любых двух на­пи­сан­ных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на b – a, и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.