В школе 800 уче­ни­ков, из них 30%  — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ют не­мец­кий язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют не­мец­кий язык, если в на­чаль­ной школе не­мец­кий язык не изу­ча­ет­ся?

Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,52. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 × 1 изоб­ражён впи­сан­ный в окруж­ность угол ABC. Най­ди­те его гра­дус­ную ве­ли­чи­ну.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что решка вы­па­дет ровно один раз.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 43 и 7. Вы­со­та тра­пе­ции равна 27. Най­ди­те тан­генс остро­го угла тра­пе­ции.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x)  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Груз мас­сой 0,4 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  8 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 7 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Пете надо ре­шить 333 за­да­чи. Еже­днев­но он ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Петя решил 5 задач. Опре­де­ли­те, сколь­ко задач решил Петя в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся за 9 дней.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [–9; 0].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3. Через точки A, C₁ и се­ре­ди­ну T ребра A₁B₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Во­круг тре­уголь­ни­ка AOC опи­са­на окруж­ность, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AB, если и AC  =  3.

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на шесть лет в раз­ме­ре 900 тыс. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года (r  — целое число);

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо опла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг дол­жен быть на какую-то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2030 года долг дол­жен со­ста­вить 400 тыс. руб­лей;

—  в июле 2031 и 2032 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2032 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет равна 1245 тыс. руб­лей. Най­ди­те r.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при любом до­пу­сти­мом зна­че­нии x.

На кон­кур­се «Мисс−261» вы­ступ­ле­ние каж­дой участ­ни­цы оце­ни­ва­ют шесть судей. Каж­дый судья вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что за вы­ступ­ле­ние участ­ни­цы С все члены жюри вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл за вы­ступ­ле­ние опре­де­ля­ет­ся как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся две наи­боль­шие оцен­ки, и счи­та­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское че­ты­рех остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 18?

б)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.