Толь­ко 57% из 23 000 вы­пуск­ни­ков го­ро­да пра­виль­но ре­ши­ли за­да­чу B9. Сколь­ко че­ло­век пра­виль­но ре­ши­ли за­да­чу B9?

При дву­крат­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости в сумме вы­па­ло 9 очков. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что хотя бы раз вы­па­ло 5 очков?

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 11 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около него окруж­но­сти.

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем 5 сумок из 110 имеют скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся без де­фек­тов.

Ответ округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 43 и 23. Вы­со­та тра­пе­ции равна 20. Най­ди­те тан­генс остро­го угла тра­пе­ции.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции ко­то­рая яв­ля­ет­ся одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции опре­делённой на ин­тер­ва­ле Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Груз мас­сой 0,8 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  2 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 52 се­кун­ды после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Ту­рист идёт из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние. Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист прошёл 11 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров прошёл ту­рист за ше­стой день, если весь путь он прошёл за 10 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 245 ки­ло­мет­ров.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, а бо­ко­вые ребра равны 3. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка E так, что AE : EA₁  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C₁ рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти BED₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и BED₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C  — тупой, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая AH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что дуги BC и DA равны.

б)  Най­ди­те BC, если AC  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDH равна 9.

15-⁠го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1200 тысяч руб­лей на 17 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-⁠го  числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 16-⁠й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 15-⁠му числу 17-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-⁠го числа 16-⁠го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1472 ты­ся­чи руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не­обя­за­тель­но раз­лич­ных трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2970. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и тре­тью цифры (на­при­мер, число 123 за­ме­ни­ли на число 321).

а)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 2 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.