Мо­биль­ный те­ле­фон стоил 8400 руб­лей. Через не­ко­то­рое время цену на эту мо­дель сни­зи­ли до 6300 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена?

Артём гу­ля­ет по парку. Он вы­хо­дит из точки S и, дойдя до оче­ред­ной раз­вил­ки, с рав­ны­ми шан­са­ми вы­би­ра­ет сле­ду­ю­щую до­рож­ку, но не воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что таким об­ра­зом он вый­дет к дет­ской пло­щад­ке.

Най­ди­те гра­дус­ную ве­ли­чи­ну дуги AC окруж­но­сти, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ис­то­рии всего 60 би­ле­тов, в 12 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Петр Пер­вый". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме "Петр Пер­вый".

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

Боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно 25. Бо­ко­вая сто­ро­на равна 3. Синус остро­го угла равен  Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции опре­делённой на ин­тер­ва­ле Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Груз мас­сой 0,58 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  2 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 50 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 11 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 33 мет­рам.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те его корни на от­рез­ке

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  5 : 2. Точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD₁ яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ETD₁ и плос­ко­стью A₁B₁C₁, если из­вест­но, что

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC в два раза боль­ше сто­ро­ны AB. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке P. Из­вест­но, что BC  =  6, LP  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и BP па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 9 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо опла­тить часть долга одним пла­те­жом;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Какую сумму сле­ду­ет взять в кре­дит, чтобы общая сумма пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния рав­ня­лась 4,6 млн руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и все их воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доске в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доске, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.