СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 518912

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 7, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. На про­дол­же­нии ребра SA за точку A от­ме­че­на точка P, а на про­дол­же­нии ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и CPQ.

Ре­ше­ние.

а) Пусть — се­ре­ди­на ребра , — се­ре­ди­на от­рез­ка . В рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ках и ме­ди­а­ны и яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и вы­со­та­ми. Сле­до­ва­тель­но, точки , и лежат на одной пря­мой. Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, так как тре­уголь­ни­ки и равны, а зна­чит, = . В тре­уголь­ни­ках и вы­со­та­ми слу­жат от­рез­ки и со­от­вет­ствен­но. Из того, что от­ре­зок пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку и от­рез­ку сле­ду­ет, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти , но пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен любой пря­мой, ле­жа­щей в ней, сле­до­ва­тель­но, пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Из ре­ше­ния преды­ду­ще­го пунк­та видно, что плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям и , а по­то­му ис­ко­мый.

Найдём сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка .

Ясно, что и

В тре­уголь­ни­ке имеем:

 

 

Из тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим

 

 

Сле­до­ва­тель­но,

Из тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим

Ответ:


Аналоги к заданию № 518912: 518959 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная пирамида, Угол между плоскостями, Угол между прямыми