РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 13734931

Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура не превышала 4 градусов Цельсия.

На клетчатой бумаге с размером клетки $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: Пи конец аргумента конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: Пи конец аргумента конец дроби см$ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В блюде 35 пирожков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с рыбой.

Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка = 4.$

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC  =  4, $синус A = 0,5.$ Найдите АВ.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 13t плюс 23$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/⁠с?

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите $V/ Пи .$

Найдите $косинус альфа ,$ если $синус альфа = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби$ и $альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка .$

10.  

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью υ₀  =  57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a  =  12 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.

11.  

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/⁠ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/⁠ч.

12.  

Найдите точку максимума функции $y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 5x плюс 12.$

13.  

а)  Решите уравнение $16 косинус в степени 4 x минус 24 косинус в квадрате x плюс 9=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи , 3 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 6, а боковые рёбра равны 9.

а)  Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AC и BC параллельно прямой MC, является прямоугольником.

б)  Найдите площадь этого сечения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство: $x в кубе плюс 6x в квадрате плюс дробь: числитель: 21x в квадрате плюс 3x минус 12, знаменатель: x минус 4 конец дроби меньше или равно 3.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Угол C треугольника ABC равен 30°, D  — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC  =  1:3. Найдите синус угла A.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

17.  

Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система $система выражений новая строка левая круглая скобка |x| минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =4, новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате конец системы .$ имеет единственное решение.

Решение. Если $x больше или равно 0,$ то уравнение $левая круглая скобка |x| минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =4$ задает окружность $\omega _1$ с центром в точке $C_1 левая круглая скобка 5,4 правая круглая скобка$ радиуса $2,$ а если $x меньше 0,$ то оно задаёт окружность $\omega_2$ с центром в точке $C_2 левая круглая скобка минус 5, 4 правая круглая скобка$ того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях параметра a уравнение $левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате$ задаст окружность $\omega$ с центром в точке $C левая круглая скобка 2, 0 правая круглая скобка$ радиуса $a.$ Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность $\omega$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $\omega_1$ и $\omega_2.$

Из точки C проведём луч $CC_1$ и обозначим $A_1$ и $B_1$ точки его пересечения с окружностью $\omega_1,$ где $A_1$ лежит между C и $C_1.$

Так как $CC_1= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 5 минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента =5,$ то $CA_1=5 минус 2=3,CB_1=5 плюс 2=7.$

При $a меньше CA_1$ или $a больше CB_1$ окружности $\omega$ и $\omega _1$ не пересекаются. При $CA_1 меньше a меньше CB_1$ окружности $\omega$ и $\omega_1$ имеют две общие точки. При $a=CA_1$ или $a=CB_1$ окружности $\omega$ и $\omega_1$ касаются.

Из точки C проведём луч $CC_2$ и обозначим $A_2$ и $B_2$ точки его пересечения с окружностью $\omega_2,$ где $A_2$ лежит между точками C и $C_2.$ Так как $CC_2= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 5 минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента ,$ то $CA_2= корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента минус 2,CB_2= корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента плюс 2.$

При $a меньше CA_2$ или $a больше CB_2$ окружности $\omega$ и $\omega_2}$ не пересекаются. При $CA_2 меньше a меньше CB_2$ окружности $\omega$ и $\omega_2$ имеют две общие точки. При $a=CA_2$ или $a=CB_2$ окружности $\omega$ и $\omega_2$ касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $\omega$ касается ровно одной из двух окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ и не пересекается с другой. Так как $CA_1 меньше CA_2 меньше CB_1 меньше CB_2,$ то условию задачи удовлетворяют только числа $a=3$ и $a= корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента плюс 2.$

Ответ: $3, корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента плюс 2.$

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
C помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены так же одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обоснованно.	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра.	2
Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальное количество баллов	4

19.  

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а)  Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б)  Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в)  В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	83785	5
2	27522	5
3	250953	0,25
4	1025	0,4
5	315120	2
6	27244	8
7	119978	8
8	25801	243
9	505381	-0,2
10	27964	30
11	26581	10
12	4323	-4,8
13	504564	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$
14	512889	$дробь: числитель: 27 корень из: начало аргумента: 15, знаменатель: конец аргумента конец дроби 4.$
15	508536	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка .$
16	502025	$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ или 1.
17	507714	2019.
18	484649	$3, корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента плюс 2.$
19	514511	а)  да; б)  нет; в)  3.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ