70 вы­пуск­ни­ков школы со­би­ра­ют­ся учить­ся в тех­ни­че­ских вузах. Они со­став­ля­ют 40% от числа вы­пуск­ни­ков. Сколь­ко в школе вы­пуск­ни­ков?

На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та ав­то­мо­биль­но­го дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси ор­ди­нат  — кру­тя­щий мо­мент в Н · м. Чтобы ав­то­мо­биль начал дви­же­ние, кру­тя­щий мо­мент дол­жен быть не менее 60 Н · м. Какое наи­мень­шее число обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту до­ста­точ­но, чтобы ав­то­мо­биль начал дви­же­ние?

Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;7), (5;3), (5;5), (1;9).

Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­яв­ле­но 75 вы­ступ­ле­ний  — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 30 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC AC  =  BC, AH  — вы­со­та, Най­ди­те

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции на от­рез­ке

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, D, A₁, B, C, B₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и приёмника зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла  Гц и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: (Гц), где c  — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде (в м/с), а  м/с и  м/с  — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 120 Гц?

То­вар­ный поезд каж­дую ми­ну­ту про­ез­жа­ет на 750 мет­ров мень­ше, чем ско­рый, и на путь в 180 км тра­тит вре­ме­ни на 2 часа боль­ше, чем ско­рый. Най­ди­те ско­рость то­вар­но­го по­ез­да. Ответ дайте в км/⁠ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC, в ос­но­ва­ни­ии ко­то­рой лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM  — точка F. Из­вест­но, что AD  =  4 и BE  =  2, F  — се­ре­ди­на AM.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ADE − рав­но­сто­рон­ний.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и F.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Сто­ро­ны KN и LM тра­пе­ции KLMN па­рал­лель­ны, пря­мые LM и MN  — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLN.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если из­вест­но, что KN  =  6, а ∠LMN  =  120°.

Вася меч­та­ет о соб­ствен­ной квар­ти­ре, ко­то­рая стоит 3 млн руб. Вася может ку­пить ее в кре­дит, при этом банк готов вы­дать эту сумму сразу, а по­га­шать кре­дит Васе при­дет­ся 20 лет рав­ны­ми еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми, при этом ему при­дет­ся вы­пла­тить сумму, на 180% пре­вы­ша­ю­щую ис­ход­ную. Вме­сто этого, Вася может какое-⁠то время сни­мать квар­ти­ру (сто­и­мость арен­ды  ― 15 тыс. руб. в месяц), от­кла­ды­вая каж­дый месяц на по­куп­ку квар­ти­ры сумму, ко­то­рая оста­нет­ся от его воз­мож­но­го пла­те­жа банку (по пер­вой схеме) после упла­ты аренд­ной платы за съем­ную квар­ти­ру. За какое время в этом слу­чае Вася смо­жет на­ко­пить на квар­ти­ру, если счи­тать, что сто­и­мость ее не из­ме­нит­ся?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных корня.

В одном из за­да­ний на кон­кур­се бух­гал­те­ров тре­бу­ет­ся вы­дать пре­мии со­труд­ни­кам не­ко­то­ро­го от­де­ла на общую сумму 600 000 руб­лей (раз­мер пре­мии каж­до­го со­труд­ни­ка  — целое число, крат­ное 1000). Бух­гал­те­ру дают рас­пре­де­ле­ние пре­мий, и он дол­жен их вы­дать без сдачи и раз­ме­на, имея 100 купюр по 1000 руб­лей и 100 купюр по 5000 руб­лей.

а)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если в от­де­ле 40 со­труд­ни­ков и все долж­ны по­лу­чить по­ров­ну?

б)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если ве­ду­ще­му спе­ци­а­ли­сту надо вы­дать 40 000 руб­лей, а осталь­ные по­де­лить по­ров­ну на 70 со­труд­ни­ков?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве со­труд­ни­ков в от­де­ле за­да­ние удаст­ся вы­пол­нить при любом рас­пре­де­ле­нии раз­ме­ров пре­мий?