В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка F. Известно, что AD = 4 и BE = 2, F — середина AM.
а) Докажите, что треугольник ADE − равносторонний.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.
а) В треугольнике ADE 
следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол CAB равен 60°, значит, 
Следовательно, треугольник ADE — равносторонний, 
б) Рассмотрим треугольники AMB и 
они прямоугольные, имеют общую сторону MB и равные стороны AB и BC, следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, 
Рассмотрим треугольник AMC, воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла 
Из треугольника ADF найдём сторону 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Найдём косинус угла 
Из треугольника AFE найдём сторону 
Найдём косинус угла 
Следовательно, 
Треугольник DFE — искомое сечение, найдём его площадь:
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б.
Пусть точка K — середина стороны AB. Тогда FK — средняя линия треугольника ABM.
Опустим из точки K перпендикуляр KN на прямую DE.
Заметим, что FK параллельна MB, следовательно, перпендикулярна плоскости ABC. Тогда FN — наклонная, KN — ее проекция, и по теореме о трех перпендикулярах FN перпендикулярна DE. Тогда
-------------
Дублирует задание № 505493.Спрятать критерии