РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 11728209

70 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 40% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат  — крутящий момент в Н · м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н · м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты (1;7), (5;3), (5;5), (1;9).

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Найдите корень уравнения $\log }_2} левая круглая скобка 15 плюс x правая круглая скобка =\log _23.$

В треугольнике ABC AC  =  BC, AH  — высота, $синус BAC = 0.51.$ Найдите $косинус BAH.$

На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 18; 6 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 13;1 правая квадратная скобка .$

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB = 3,$ $AD = 4,$ $AA_1 = 5.$

Найдите значение выражения $дробь: числитель: левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: b в степени 4 конец дроби$ при $b=5.$

10.  

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 110$  Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=9$  м/с и $v =15$  м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 120 Гц?

11.  

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/⁠ч.

12.  

Найдите точку максимума функции $y= минус дробь: числитель: x в квадрате плюс 121, знаменатель: x конец дроби .$

13.  

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM  — точка F. Известно, что AD  =  4 и BE  =  2, F  — середина AM.

а)  Докажите, что треугольник ADE − равносторонний.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3 плюс корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка 5 больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3 плюс корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 2 в степени x правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN  — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.

а)  Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.

б)  Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN  =  6, а ∠LMN  =  120°.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-⁠то время снимать квартиру (стоимость аренды  ― 15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За какое время в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс 3x минус a$

имеет ровно три различных корня.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого включением только одной точки a = 0 или a = −9	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка$ множества значений a	2
Получены корни уравнения $x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a правая круглая скобка в квадрате :$ $x=0,$ $x= минус 3,$ $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби ;$ и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии $x в квадрате плюс 3x минус a больше 0$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a\ge0 правая круглая скобка$ ИЛИ получен неверный ответиз-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

19.  

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника  — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а)  Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б)  Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальные поделить поровну на 70 сотрудников?

в)  При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение. а)  Разделим общую сумму в 600 000 руб. на 40, получим, что каждый должен получить по 15 000 руб. Так как это число кратно и 1000 и 5000, то всем 40 сотрудникам можно раздать равную премию в указанных купюрах.

б)  Сумма, оставшаяся после выплаты 40 000 руб., будет равна 560 000 руб. При делении на 70 сотрудников получаем выплаты по 8000 руб. Так сделать не удастся, поскольку 8000  =  5000 + 3 · 1000 и для 70 сотрудников нужно будет 210 тысячных купюр, а их всего 100.

в)  Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии так: 26 человек должны получить по 4 тысячи, один  — всё остальное. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и в пункте «б».

Если же их не больше 26, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырёх тысячных купюр, пока не кончится пятитысячные.

Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  26.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	80017	175
2	26864	2000
3	21363	8
4	286097	0,2
5	26649	-12
6	32899	0,51
7	7803	1
8	245335	30
9	77411	25
10	42381	279
11	99593	45
12	129843	11
13	502074	а) $1, логарифм по основанию 2 3;$ б) $логарифм по основанию 2 3.$
14	513448	$левая квадратная скобка 1; логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка .$
15	513449	б) $3 корень из 3 .$
16	513687	12,5 лет.
17	514531	$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 9 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 9;0 правая круглая скобка .$
18	513263	а)  да; б)  нет; в)  26.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ