СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508942

Произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, является делителем некоторого числа вида n2 + 1, где

а) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 12.

б) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 10 или 11.

Решение.

а) Приведем пример. Пусть даны три числа: 1, 13 и 25. Тогда их произведение равно Значит, такая прогрессия существует.

 

б) Пусть разность прогрессии равна 10. Тогда заметим, что три последовательных её члена дают три различных остатка при делении на 3. Значит, какое-то одно из них кратно 3. Значит, кратно 3. Значит, дает остаток 2 при делении на 3. Но это невозможно, поскольку квадраты натуральных чисел дают при делении на 3 только остатки 0 и 1. Противоречие.

 

Рассуждение буквально повторяется, если разность прогрессии равна 11.

 

Ответ: а) да; б) нет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства