ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
Решение прямоугольного треугольника

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 27238 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $AC = 4,8,$ $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите $AB.$

Решение.

Зная, что $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ найдем косинус угла A:

$косинус A = корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби .$

Далее имеем:

$AB = дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби } = 4,8 : дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = 4,8 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 10 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Ответ: 5.

Примечание.

Можно было бы воспользоваться определением косинуса: $косинус A = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 4,8, знаменатель: AB конец дроби ,$ откуда $AB = дробь: числитель: 25 умножить на 4,8 , знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Приведём другое решение.

Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса $синус A = дробь: числитель: CB, знаменатель: AB конец дроби ,$ а по условию $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ следовательно, $дробь: числитель: CB}x = дробь: числитель: {, знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: 25 конец дроби ,$ откуда $CB = дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x.$ Применим теорему Пифагора:

$x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24}5 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 , знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x = 5.$ $x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24}5 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби 9, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$

Ответ: 5

Аналоги к заданию № 27238: 4583 19737 635853 ... Все

РешениеСпрятать решение · Видеокурс · Помощь

Тип 1 № 27239 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $AC = 2,$ $синус A = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби .$ Найдите  BC.

Решение.

Имеем:

$BC = AC тангенс A = AC синус A \over корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = 2 умножить на корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \over 17 \over корень из: начало аргумента: 1 минус 17 \over 289 конец аргумента = 2 умножить на корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \over 17 умножить на 17 \over корень из: начало аргумента: 272 конец аргумента =2 умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента =2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = 0,5.$ $BC = AC тангенс A = AC синус A \over корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = 2 умножить на корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \over 17 \over корень из: начало аргумента: 1 минус 17 \over 289 конец аргумента =$
$= 2 умножить на корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента \over 17 умножить на 17 \over корень из: начало аргумента: 272 конец аргумента =2 умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента =2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = 0,5.$

Ответ: 0,5.

Приведем решение Алишера Простова.

Найдем косинус угла А:

$косинус A= корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента конец дроби .$

Найдем гипотенузу AB:

$AB= дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента конец дроби конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

По теореме Пифагора найдем BC:

$BC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус AC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 2 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 17 минус 16, знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента =0,5.$

Ответ: 0,5

Аналоги к заданию № 27239: 4651 4657 4787 ... Все

РешениеСпрятать решение · Видеокурс · Помощь

Тип 1 № 27240 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС  =  4, $косинус A = 0,5.$ Найдите АВ.

Решение.

По определению косинуса: $косинус A = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Значит, $дробь: числитель: 4, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $AB = дробь: числитель: 4 умножить на 2 , знаменатель: 1 конец дроби = 8.$

Ответ: 8.

Примечание.

Можно было бы сразу найти гипотенузу:

$AB = AC \over косинус A = 4 \over 0,5 = 8.$

Ответ: 8

Аналоги к заданию № 27240: 26095 29575 29579 ... Все

РешениеСпрятать решение · Видеокурс · Помощь

Тип 1 № 27242 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби ,$ АС  =  4. Найдите АВ.

Решение.

Заметим, что $1 плюс тангенс в квадрате A = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате A конец дроби ,$ то есть

$дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате A = 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 1 плюс дробь: числитель: 33, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби .$

Угол А острый, его косинус положительный, поэтому $косинус A = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби .$ Далее имеем:

$AB= дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби = 4 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби = 7.$

Ответ: 7.

Примечание.

Можно было использовать определение косинуса: $косинус A = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ,$ следовательно, $дробь: числитель: 4, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ,$ откуда AB  =  7.

Приведем другое решение:

Найдем BC:

$BC=AC умножить на тангенс A=4 умножить на дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента .$

По теореме Пифагора найдем AB:

$AB= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 плюс 33 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 49 конец аргумента =7.$