PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Найдите скалярное произведение векторов
и 
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
Найдите корень уравнения: 
Найдите 
если 
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость 
с.
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени 
моль воздуха объeмом 
л,
Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 
(Дж),
—
—
(в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?
Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42 000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Решите неравенство: 
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. руб.;
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб.;
— к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.
а) Доказать, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение.
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Периметр треугольника равен
имеет координаты 
вектор 
имеет координаты 
Скалярное произведение векторов равно:
Вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, 
Вероятность не поразить одну из пяти мишеней равна 
м/с.
м/с.
при заданных значениях постоянной 
температуры воздуха 
К, количества вещества воздуха 
моль
л:
л.
уставного капитала. Тогда Борис внес 
или 
Найдем их:
наименьшее из найденных чисел равно 18.
где 
б) 
меньше его диагонали, ребро данного куба равно 
Тогда точки B, D, C1 имеют координаты 
соответственно.
Тогда точка P имеет координаты 
Тогда 
Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.
Раcстояние от точки P до точки A равно
и 
: 
и 
Отсюда вычислим 
:
и 
и 
:
и 
Все ребра равны, значит, PDBC1 — правильный тетраэдр. 
:
Следовательно, 
как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D правильный.
ABCD — квадрат, поэтому имеем: 
как накрест лежащие и 
как вертикальные, получаем: 
по двум углам, тогда 
прямоугольный, тогда 
откуда 
поскольку 
верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC прямоугольный, ∠M = 90°.
и 
— правильный, поэтому M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.
по теореме косинусов 
поэтому 
— правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.
по теореме косинусов 
:
:
поэтому BC — средняя линия треугольника AQD, тогда 
Углы MCD и MBA прямые, из чего следует, что MC и MB — медианы и высоты, тогда треугольники QMD и QMA равнобедренные, то есть 
а значит, 
что и требовалось доказать.
тогда 
MN — медиана, 
поэтому угол 
Треугольник MND прямоугольный и равнобедренный, тогда 
Заметим теперь, что 
тогда 
Имеем:
Тогда 
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
то есть отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
где 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой 
неверные из-за неверной оценки введенной переменной 
Значит, Петин результат не может быть ровно в 6 раз больше Васиного.
раза. Наибольшее целое число, не большее 
— это 3.