Ре­ше­ние. Углы CBL и ALB равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей. Сле­до­ва­тель­но,

тре­уголь­ник ABL  — рав­но­бед­рен­ный. Пусть тогда Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD по­пар­но равны, по­это­му

от­ку­да Таким об­ра­зом,

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты Ко­ор­ди­на­ты раз­но­сти век­то­ров равны раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты Длина век­то­ра По­это­му квад­рат длины век­то­ра равен

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен

где   — пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по по­стро­е­нию рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем пи­ра­ми­ды в 6 раз мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Всего ту­ри­стов пять, слу­чай­ным об­ра­зом из них вы­би­ра­ют двоих. Ве­ро­ят­ность быть вы­бран­ным равна 2 : 5  =  0,4.

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Пусть со­бы­тие A  — па­ци­ент болен, со­бы­тие B  — тест вы­яв­ля­ет на­ли­чие за­бо­ле­ва­ния. Тогда P(A)  =  x  — ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент болен. Если за­бо­ле­ва­ние дей­стви­тель­но есть, то тест под­твер­жда­ет его в 86% слу­ча­ев, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент болен и тест под­твер­жда­ет это, равна P(AB)  =  x · 0,86. Если за­бо­ле­ва­ния нет, то тест вы­яв­ля­ет от­сут­ствие за­бо­ле­ва­ния в 94% слу­ча­ев, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент не болен, а тест дал по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда ве­ро­ят­ность того, что тест ока­жет­ся по­ло­жи­тель­ным, равна От­сю­да вы­ра­зим x:

Тогда ве­ро­ят­ность того, что че­ло­век, у ко­то­ро­го тест ока­зал­ся по­ло­жи­тель­ным, дей­стви­тель­но имеет за­бо­ле­ва­ние, равна

Ответ: 0,43.

При­ве­дем ре­ше­ние Ви­та­лия Вя­ли­ко­ва.

Пусть x  — число боль­ных па­ци­ен­тов и y  — число здо­ро­вых. Тогда всего име­ет­ся x + y па­ци­ен­тов. Общее число по­ло­жи­тель­ных ПЦР-⁠те­стов по усло­вию равно 0,1(x + y), из ко­то­рых 0,86x те­стов при­хо­дит­ся на боль­ных па­ци­ен­тов и 0,06y те­стов  — на здо­ро­вых. Тогда

По­это­му ве­ро­ят­ность того, что по­ло­жи­тель­ный ПЦР-⁠тест был взят у боль­но­го па­ци­ен­та, равна

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 20.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Ре­ше­ние. Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых её про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−3; 1) и (1; 4). В силу не­пре­рыв­но­сти функ­ция f(x) воз­рас­та­ет на ин­тер­ва­ле (−3; 4). Дан­ный про­ме­жу­ток со­дер­жит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.

Гра­фик одной из функ­ций, со­от­вет­ству­ю­щих усло­вию, пред­став­лен на ри­сун­ке.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, что если функ­ция не­пре­рыв­на на каком-⁠либо из кон­цов про­ме­жут­ка воз­рас­та­ния или убы­ва­ния, то гра­нич­ную точку при­со­еди­ня­ют к этому про­ме­жут­ку. В част­но­сти, если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке и мо­но­тон­на на ин­тер­ва­ле то функ­ция мо­но­тон­на на всем от­рез­ке

Обоб­ще­ни­ем этого утвер­жде­ния слу­жит сле­ду­ю­щая тео­ре­ма: функ­ция мо­но­тон­на на про­ме­жут­ке, если ее про­из­вод­ная со­хра­ня­ет знак всюду на этом про­ме­жут­ке, за ис­клю­че­ни­ем ко­неч­но­го числа точек, в ко­то­рых функ­ция не­пре­рыв­на. На­при­мер, про­из­вод­ная функ­ции

не су­ще­ству­ет в точке и по­ло­жи­тель­на во всех осталь­ных точ­ках. Функ­ция f в точке не­пре­рыв­на, сле­до­ва­тель­но, она воз­рас­та­ет на

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить дан­ную за­да­чу с за­да­ча­ми 551782 и 551783 и об­ра­тить вни­ма­ние на гра­ни­цы про­ме­жут­ка за­да­ния функ­ции.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров m, M и R:

Решая квад­рат­ное не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим Наи­боль­шее ре­ше­ние двой­но­го не­ра­вен­ства  — число 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Ско­рость плота равна ско­ро­сти те­че­ния реки, по­это­му со­став­ля­ет 2 км/⁠ч. Пусть u км/ч  — ско­рость яхты, тогда ско­рость яхты по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость яхты про­тив те­че­ния равна км/ч, при­чем Яхта, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A, а плоту, чтобы прой­ти те же 24 км, по­на­до­би­лось на час боль­ше вре­ме­ни. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Ответ: 22.

При­ме­ча­ние.

Вы­чис­ле­ния можно было бы упро­стить, ис­поль­зуя фор­му­лу для чет­но­го ко­эф­фи­ци­ен­та при х:

где ко­рень можно вы­чис­лить так:

Чтобы до­га­дать­ся, что число 3721 яв­ля­ет­ся квад­ра­том 61, можно либо за­ме­тить, что 60²  =  3600, и про­ве­рить бли­жай­шее целое число, за­кан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 1, либо пред­ста­вить число 3721 в виде пол­но­го квад­ра­та суммы:

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку, f(4)  =  5, тогда Таким об­ра­зом,

Ответ: 1,96.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. а)  Под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния долж­ны быть равны и не­от­ри­ца­тель­ны:

б)  За­ме­тим, что Не­ра­вен­ство яв­ля­ет­ся вер­ным, сле­до­ва­тель­но, ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [log₃0,5; log₃2].

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пря­мая MN па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC, по­это­му се­че­ние пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой PQ, па­рал­лель­ной MN. Рас­смот­рим плос­кость SCE. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти и пря­мой MN, L  — точка пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти и пря­мой PQ, O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­ко­сти SCE и MNQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­сти ABC, по­это­му пря­мая KL пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, а зна­чит, па­рал­лель­на пря­мой SO. По­сколь­ку MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASB, точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ES. Зна­чит, L  — се­ре­ди­на EO. Ме­ди­а­на CE тре­уголь­ни­ка ABC де­лит­ся точ­кой O в от­но­ше­нии 2 : 1. Зна­чит, CL : LE  =  5 : 1.

б)  В тра­пе­ции MNQP имеем:

Зна­чит, пло­щадь тра­пе­ции MNPQ равна

Ответ: б) 44.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

По­след­нее не­ра­вен­ство за­ве­до­мо вы­пол­ня­ет­ся, если пра­вая часть от­ри­ца­тель­на, то есть при

Если то

Это верно тогда и толь­ко тогда, когда Ре­ше­ние не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ясно, что наи­боль­шим яв­ля­ет­ся пер­вый платёж, со­от­вет­ству­ю­щий мак­си­маль­ной сумме долга. Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Пер­вый платёж при вы­пла­те диф­фе­рен­ци­ру­е­мы­ми пла­те­жа­ми равен млн руб. По усло­вию эта ве­ли­чи­на равна 3,6 млн руб., от­ку­да По фор­му­ле для вы­пла­ты В при опла­те кре­ди­та S, взя­то­го под r% го­до­вых, имеем:

По­это­му

О ре­ше­нии таких за­да­ний см. Гущин Д. Д. «Встре­чи с фи­нан­со­вой ма­те­ма­ти­кой».

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 14,4 млн руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  Пусть P  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки D на пря­мую AB, тогда DH  =  DP. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке EAD угол AED  равен 30°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке EPD на­хо­дим от­ку­да по­лу­ча­ем, что FH  =  2DH.

б)  Пусть AM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC  — пе­ре­се­ка­ет ED в точке N. Тогда

Пусть DH  =  EF  =  x, тогда FH  =  ED  =  2x. Тре­уголь­ни­ки ABC и AED по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH равна

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Сер­гея Фе­до­ро­ва.

Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Углы BDE и DBC равны как на­крест ле­жа­щие, угол DBC равен углу DBE, по­сколь­ку BD яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, сле­до­ва­тель­но, углы BDE и DBE равны, тогда тре­уголь­ник DBE рав­но­бед­рен­ный, DE  =  BE. В тре­уголь­ни­ке BFE катет EF лежит про­тив угла в 30°, сле­до­ва­тель­но, BE  =  2EF, тогда DE  =  2EF.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

Тогда ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сле­ду­ю­щей сме­шан­ной си­сте­ме:

По­стро­им её гра­фик и опре­де­лим, при каких зна­че­ния па­ра­мет­ра пучок пря­мых имеет един­ствен­ную общую точку с объ­еди­не­ни­ем двух лучей и при усло­ви­ях (см. рис.).

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, част­ное числа 339 и про­из­ве­де­ния его цифр равно

б)  Пусть это част­ное равно Тогда число де­лит­ся на 25, а его две по­след­ние цифры равны 2 и 5 или 7 и 5. Но про­из­ве­де­ние цифр числа долж­но де­лит­ся на 27. Ни 2, ни 5, ни 7 не де­лят­ся на 3, а пер­вая цифра не боль­ше 9. Зна­чит, част­ное не может рав­нять­ся

в)  Рас­смот­рим два слу­чая:

1.  Если про­из­ве­де­ние цифр числа боль­ше 27. Тогда число и про­из­ве­де­ние его цифр имеют общий де­ли­тель, боль­ший 1, а част­ное числа и про­из­ве­де­ния его цифр не пре­вос­хо­дят

2.  Если про­из­ве­де­ние цифр числа рав­ня­ет­ся 27. Тогда число со­сто­ит из еди­ниц, троек и де­вя­ток. Наи­боль­шее такое число с про­из­ве­де­ни­ем цифр 27 рав­ня­ет­ся 931. Част­ное этого числа и про­из­ве­де­ния его цифр рав­ня­ет­ся

Зна­чит − это наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать это част­ное, если оно равно не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 27.

Ответ: а)  на­при­мер, 339; б)  нет; в)