Ре­ше­ние. По ри­сун­ку, ис­поль­зуя свой­ство смеж­ных углов и тео­ре­му о сумме углов тре­уголь­ни­ка, на­хо­дим:

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Имеем: по­это­му Сумма ко­ор­ди­нат най­ден­но­го век­то­ра равна

Ответ: −4.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ребро куба равно ра­ди­у­су сферы, в кубе со­дер­жит­ся 1/⁠8 часть сферы и, со­от­вет­ствен­но, 1/⁠8 ее по­верх­но­сти, рав­ная

Ответ: 1,28.

Ре­ше­ние. Из 25 би­ле­тов 15 не со­дер­жат во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства», по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства», равна

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят обе лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,3 · 0,3  =  0,09.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Мень­ший ко­рень равен −9.

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. Под­став­ляя ар­гу­мен­ты в фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию, по­лу­ча­ем:

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Фор­му­лой, опи­сы­ва­ю­щей умень­ше­ние вы­со­ты стол­ба воды с те­че­ни­ем вре­ме­ни, яв­ля­ет­ся

Чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объёма воды в баке оста­нет­ся, когда вы­со­та стол­ба воды будет 5 м. Опре­де­лим тре­бу­е­мое на вы­те­ка­ние трех чет­вер­тей воды время  — най­дем мень­ший ко­рень урав­не­ния :

Таким об­ра­зом, через 50 се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объёма воды.

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Пусть υ км/⁠ч  — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна υ + 21 км/⁠ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через t часов. Для того чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы. По­это­му

Таким об­ра­зом, мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через  часа, или через 20 минут.

Ответ: 20.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Быст­рый мо­то­цик­лист дви­жет­ся от­но­си­тель­но мед­лен­но­го со ско­ро­стью 21 км/⁠ч и дол­жен пре­одо­леть раз­де­ля­ю­щие их 7 км. Сле­до­ва­тель­но, на это ему по­тре­бу­ет­ся одна треть часа.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что перед нами па­ра­бо­ла вида (то есть ), с вер­ши­ной в точке по­это­му Тогда

Ответ: 31.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  6, c  =  4. Тогда

Ответ: 31.

Ре­ше­ние. Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке в нашем слу­чае  — в точке 1. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ет и функ­ция опре­де­ле­на в точке 1, она также до­сти­га­ет в ней мак­си­му­ма.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или

При по­лу­чим от­ку­да

При по­лу­чим от­ку­да

б)  Ко­рень не при­над­ле­жит про­ме­жут­ку По­сколь­ку и ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку

б)  Пусть  — се­ре­ди­на тогда угол между пря­мой и плос­ко­стью грани равен углу между этой плос­ко­стью и пря­мой

Обо­зна­чим через пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный на Пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти грани по­сколь­ку она пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым и По­это­му ис­ко­мый угол равен углу

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке :

от­ку­да

Ответ: б) 30°.

При­ведём век­тор­ное ре­ше­ние Де­ни­са Чер­нышёва (Тю­мень).

а)  Вве­дем век­то­ры как по­ка­за­но на ри­сун­ке, и вы­ра­зим через введённый базис век­то­ры

Бо­ко­вое ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а зна­чит, и любой ле­жа­щей в ней пря­мой, по­это­му от­ку­да

Под­став­ляя по­лу­чим

Зна­чит, пря­мые B₁C и C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­ны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ис­ко­мый угол между пря­мой C₁M и плос­ко­стью грани ABB₁A₁ равен α. Чтобы найти его, нужно знать век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный к плос­ко­сти Это век­тор Тогда

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

Зна­чит,

При­ве­дем ре­ше­ние Ивана Ива­но­ва (Вла­ди­во­сток).

а)  Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат: по­ме­стим на­ча­ло ко­ор­ди­нат в точку A, ось Ox на­пра­вим вдоль пря­мой AB, ось Oy  — пер­пен­ди­ку­ляр­но AB в плос­ко­сти ABC так, чтобы ор­ди­на­та точки C была по­ло­жи­тель­ной, а ось Oz на­пра­вим вдоль пря­мой AA₁ (см. рис.). В дан­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты точек:

Далее на­хо­дим:

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров равно нулю, зна­чит, век­тор пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру Эти век­то­ры яв­ля­ют­ся на­прав­ля­ю­щи­ми век­то­ра­ми пря­мых B₁C и C₁M сле­до­ва­тель­но, эти пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Плос­кость грани ABB₁A₁  — это плос­кость Axz, урав­не­ние ко­то­рой имеет вид y  =  0. Еди­нич­ный век­тор нор­ма­ли к этой плос­ко­сти имеет вид Синус угла φ между пря­мой и плос­ко­стью равен мо­ду­лю ко­си­ну­са угла между на­прав­ля­ю­щим век­то­ром пря­мой и нор­ма­лью к плос­ко­сти, то есть ко­си­ну­су угла между на­прав­ля­ю­щим век­то­ром пря­мой C₁M и нор­ма­лью к плос­ко­сти грани ABB₁A₁:

зна­чит, ис­ко­мый угол равен 30°.

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде:

Мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

Ре­ше­ние. а)  Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний BC и AD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но, а ее центр на­хо­дит­ся в точке O.

Лучи AO и BO яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов BAD и ABC со­от­вет­ствен­но, по­это­му

то есть тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный. Ана­ло­гич­но тре­уголь­ник COD тоже пря­мо­уголь­ный. Пусть BM  =  x, CN  =  y, тогда AM  =  8x, DN  =  2y.

от­ку­да y  =  2x. По­лу­ча­ем: BK  =  BM  =  x, AL  =  AM  =  8x, CK  =  CN  =  2x, DL  =  DN  =  4x, BC  =  BK + KC  =  3x, AD  =  AL + LD  =  12x, то есть AD  =  4BC.

б)  За­ме­тим, что по­это­му

Пусть пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а пря­мые MN и PO пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q. Тогда тре­уголь­ни­ки BPC и APD по­доб­ны, по­это­му AP  =  4BP, AB  =  3BP, BP  =  3x, PN  =  PM  =  4x. Пря­мая  PO яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к MN. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OMP по­лу­ча­ем:

Зна­чит,

Ответ: б) 4.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний BC и AD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но, ее центр на­хо­дит­ся в точке  O, а BM  =  x, CN  =  y, тогда AM  =  8x, DN  =  2y. По­сколь­ку точки M, K, N и L  — точки ка­са­ния, и Опу­стим вы­со­ты BH и CQ:

тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По­сколь­ку имеем от­ку­да

Таким об­ра­зом, BC  =  BK + KC  =  3x, AD  =  AL + LD  =  12x, то есть AD  =  4BC.

Ре­ше­ние. Про­из­ведём за­ме­ну пе­ре­мен­ной по­лу­чим:

Пусть те­перь

При t  ≥  0 функ­ция g(t) убы­ва­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до При t  <  0 функ­ция g(t) воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до Зна­чит,

Функ­ция f(t) при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при причём на про­ме­жут­ке (0; +∞) функ­ция воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от до а на про­ме­жут­ке (−∞; 0)  — убы­ва­ет (функ­ция чётная), при­ни­мая все зна­че­ния от до

По­сколь­ку наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при одном и том же зна­че­нии урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда то есть

1.  При a ≥ 0 по­лу­ча­ем

2.  При a < 0 по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вый день На­та­ша и Маша сде­ла­ли n и m фо­то­гра­фий со­от­вет­ствен­но, всего они де­ла­ли сним­ки в те­че­ние k дней. По­сколь­ку На­та­ша сде­ла­ла на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша, по­лу­ча­ем:

а)  Если то есть в пер­вый день На­та­ша сде­ла­ла на 143 фо­то­гра­фии боль­ше, чем Маша, то Зна­чит, На­та­ша могла за семь дней сде­лать на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

б)  По­сколь­ку 1001 крат­но k, но 1001 на 8 без остат­ка не де­лит­ся. Таким об­ра­зом, за во­семь дней На­та­ша не сде­ла­ла бы на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

в)  В по­след­ний день Маша сде­ла­ла мень­ше 40 фо­то­гра­фий, то есть от­ку­да По­сколь­ку k яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 1001 и либо либо либо

По­сколь­ку ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий На­та­ши от­ли­ча­ет­ся от Ма­ши­ных на кон­стан­ту, будем мак­си­ми­зи­ро­вать ко­ли­че­ство сним­ков Маши.

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Если от­ку­да наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние Най­дем общее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий, сде­лан­ных Машей, равно 429, а На­та­шей  — 429 + 1001  =  1430.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1430.