Ре­ше­ние. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. Вы­ра­зим её из фор­му­лы пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Най­дем:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды EABC по усло­вию в 2 раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD. Также вы­со­та дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 2 раза мень­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD (т. к. точка E  — се­ре­ди­на ребра SB). По­сколь­ку объем пи­ра­ми­ды равен то объем дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 4 раза мень­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABCD и равен 33.

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Био­ло­гом», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций шесть: 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, а всего ком­би­на­ций 2⁴  =  16: 0000, 1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят три лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равно про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,25 · 0,25 · 0,25  =  0,015625.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа  — про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,015625  =  0,984375  ≈  0,984.

Ответ: 0,984.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 68.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −3,08.

Ре­ше­ние. Воз­рас­та­нию диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния её про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на в точ­ках x₂, x₃, x₄, x₇ x₈. Таких точек 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если км. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства км при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров и a:

Учи­ты­вая то, что время  — не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем ч, то есть мин.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. За одну ми­ну­ту Маша про­па­лы­ва­ет гряд­ки, а обе де­воч­ки  — Сле­до­ва­тель­но, Даша про­па­лы­ва­ет гряд­ки в ми­ну­ту. По­это­му, ра­бо­тая от­дель­но, Даша про­па­лы­ва­ет гряд­ку за 27 минут.

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку, f(4)  =  3, тогда Тогда урав­не­ние функ­ции имеет вид

За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой. Тогда По гра­фи­ку, g(3)  =  2, зна­чит, Тогда урав­не­ние пря­мой имеет вид

Те­перь найдём абс­цис­су точки A:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 2,25.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −15.

Ре­ше­ние.

а)  Пусть   — об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра. Тогда   — пря­мо­уголь­ник, по­это­му угол между пря­мы­ми и равен углу

Угол ABC опи­ра­ет­ся на диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, по­это­му он пря­мой. Зна­чит, пря­мая па­рал­лель­ная пря­мой BC, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мым AB и Таким об­ра­зом, пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти а зна­чит, угол пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке :

Зна­чит,

б)  От­ре­зок AC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Зна­чит, пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна

Сле­до­ва­тель­но, объём ци­лин­дра равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Решим не­ра­вен­ство, пе­рей­дя к рав­но­силь­ной си­сте­ме:

Усло­вий су­ще­ство­ва­ния ло­га­риф­мов в левой части не­ра­вен­ства до­ста­точ­но для со­блю­де­ния ОДЗ ввиду знака не­ра­вен­ства.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть S тысяч руб­лей  — тело кре­ди­та, x тысяч руб­лей  — сумма, на ко­то­рую рав­но­мер­но умень­ша­ет­ся долг еже­ме­сяч­но,

Долг умень­ша­ет­ся рав­но­мер­но, по­это­му

Тогда сумма вы­плат будут вы­гля­деть сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Под­ста­вив зна­че­ния из­вест­ных пе­ре­мен­ных и вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, по­лу­чим урав­не­ние

по­это­му наше урав­не­ние при­мет сле­ду­ю­щий вид:

Ответ:

Ре­ше­ние.

а)  Тра­пе­ция AMCD впи­са­на в окруж­ность, тогда углы CAD и MDA равны. Углы CAD и BAM равны по­ло­ви­не дуги AM, по­это­му они равны между собой, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)   от­ку­да тогда а Тре­уголь­ни­ки AOD и COB по­доб­ны, по­это­му тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть a детей за­пла­ти­ли по 30 руб­лей и b по 140 руб­лей, тогда

а)  Долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство от­ку­да Это воз­мож­но, на­при­мер, при и Ясно, что рас­пре­де­лить би­ле­ты таким об­ра­зом, чтобы каж­дый ат­трак­ци­он ис­поль­зо­вал­ся 8 раз, можно  — ко­ли­че­ство би­ле­тов схо­дит­ся, а любой ре­бе­нок может по­се­тить любой ат­трак­ци­он не­од­но­крат­но, так что про­сто купим 88 би­ле­тов (по 8 на каж­дый ат­трак­ци­он) и раз­да­дим 6 детям по 3 би­ле­та и 5 детям по 14 би­ле­тов.

б)  Пусть вы­руч­ка каж­до­го ат­трак­ци­о­на со­ста­ви­ла 10x руб­лей (то есть на каж­дый ат­трак­ци­он про­да­ли x би­ле­тов). Тогда

Если крат­но 11, то и пра­вая часть боль­ше левой, что не­воз­мож­но. Зна­чит, крат­но 11 и по­то­му При­мер, когда при­ве­ден в пунк­те а).

в)  За­ме­тим, что n ат­трак­ци­о­нов с раз­ной вы­руч­кой за­ра­бо­та­ют как ми­ни­мум

При этом дети по­тра­тят руб­лей, от­ку­да

При это верно, а при по­лу­ча­ем Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное n это 28.

Для та­ко­го n на ат­трак­ци­о­ны про­да­но ми­ни­мум би­ле­тов. Если взять 27 детей, ку­пив­ших по 14 би­ле­тов и 1 ре­бен­ка, ку­пив­ше­го 3 би­ле­та, то число куп­лен­ных би­ле­тов ока­жет­ся рав­ным Зна­чит, можно взять имен­но такой набор детей, а на ат­трак­ци­о­ны про­дать би­ле­тов и ко­ли­че­ство би­ле­тов сой­дет­ся. Как и в пунк­те а), будем про­да­вать их детям в нуж­ном ко­ли­че­стве, сле­дить за тем, чтобы никто не по­се­щал ат­трак­ци­он два­жды, не обя­за­тель­но.

Ответ: а)  да; б)  11; в)  28.