ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 681135 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при которых уравнение $2x в квадрате минус a тангенс левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс a в квадрате = 0$ имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Числа x₀ и $левая круглая скобка минус x_0 правая круглая скобка$ являются решениями уравнения одновременно. Поскольку решение единственно, уравнение должно иметь корень $x=0$ и не должно иметь других корней. Подставляя $x=0,$ получаем:

$2 умножить на 0 в квадрате минус a тангенс левая круглая скобка косинус 0 правая круглая скобка плюс a в квадрате =0 равносильно a в квадрате минус a тангенс 1=0 равносильно совокупность выражений a=0,a= тангенс 1. конец совокупности .$

В первом случае уравнение принимает вид $2x в квадрате =0$ и действительно имеет единственный корень $x=0.$ Во втором случае находим:

$2x в квадрате минус тангенс 1 умножить на тангенс левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс тангенс в квадрате 1=0 равносильно 2x в квадрате плюс тангенс 1 левая круглая скобка тангенс 1 минус тангенс косинус x правая круглая скобка =0.$

Заметим, что $минус 1 меньше или равно косинус x меньше или равно 1,$ поэтому $тангенс косинус x меньше или равно тангенс 1$ в силу возрастания тангенса на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$ Кроме того $тангенс 1 больше 0,$ а потому второе слагаемое в левой части уравнения неотрицательно. Слагаемое $2x в квадрате$ равно нулю при $x=0$ и больше нуля при прочих  х. Следовательно, полученное уравнение не имеет других решений, кроме нуля.

Ответ: $a=0$ или $a= тангенс 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: ЕГЭ−2025. Основная волна 26.05.2025

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь