Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит

Ответ: 56°.

Ре­ше­ние. Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Длина век­то­ра равна:

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше в 4 раза (так как вы­со­та и сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии мень­ше ис­ход­ных в 2 раза), по­это­му и объем остав­шей­ся части мень­ше в 4 раза. Тем самым, он равен 9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Будет про­чи­та­ны 50 до­кла­дов, на по­след­ние три дня пла­ни­ру­ет­ся 33 до­кла­да. По­это­му на вто­рой день за­пла­ни­ро­ва­но 11 до­кла­дов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции, равна

Ответ: 0,22.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия

Тогда

По усло­вию P(A)  =  P(B)  =  0,1; P(A·B)  =  0,03.

Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,17  =  0,83.

Ответ: 0,83.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те, равна 1 − 0,1  =  0,9. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те, равна 1 − 0,1  =  0,9. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те равна 1 − 0,03  =  0,97. По­сколь­ку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,97  =  0,9 + 0,9 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­ят­ность х  =  0,83.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B)  =  0,1·0,1  =  0,01, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,03.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 53.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точ­ках экс­тре­му­мов: −2; −1; 1; 4 и 6. Про­из­вод­ная равна нулю в 5 точ­ках.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства В при из­вест­ных зна­че­ни­ях внут­рен­не­го со­про­тив­ле­ния r  =  0,5 Ом, ЭДС  В:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть объем бас­сей­на равен 1. Обо­зна­чим и   — ско­ро­сти на­пол­не­ния бас­сей­на (в ч⁻¹) пер­вой и вто­рой тру­бой, со­от­вет­ствен­но. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 часов 54 ми­ну­ты:

По усло­вию за­да­чи одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 22 часа, то есть Таким об­ра­зом,

Тем самым, вто­рая труба за час на­пол­ня­ет 1/18 бас­сей­на, зна­чит, вто­рая труба на­пол­ня­ет этот бас­сейн за 18 часов.

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку f(1)  =  3, то есть от­ку­да a  =  3. тогда урав­не­ние функ­ции имеет вид

За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой. Сле­до­ва­тель­но, и

Те­перь най­дем абс­цис­су точки A:

Оче­вид­но, точка (0; 0)  — это точка A. Ис­ко­мая абс­цис­са точки B: x  =  81.

Ответ: 81.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма x  =  13.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лу при­ве­де­ния и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Най­дем:

Ответ: а)   б)  

Ре­ше­ние. а)  Так как по усло­вию пря­мые LM, KC и BC, B₁C₁ па­рал­лель­ны, углы LMB₁ и KCB равны. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки LMB₁ и KCB по­доб­ны, а по­то­му На­хо­дим:

сле­до­ва­тель­но, точка K  — се­ре­ди­на AB.

б)  Пусть LP  — вы­со­та тра­пе­ции KLMC, Q  — про­ек­ция точки L. За­ме­тим, что:

При этом

сле­до­ва­тель­но, KL  =  MC, а зна­чит, тра­пе­ция KLMC рав­но­бед­рен­ная. Имеем:

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. Упро­стим:

Пусть тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной; окон­ча­тель­но имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та S еже­год­ные вы­пла­ты x, По усло­вию долг на июль ме­ня­ет­ся так:

Если долг вы­пла­чен двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₂, то

Если долг вы­пла­чен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₄, то

Тогда

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, r  =  20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ке AKE вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние по­сколь­ку 13  =  9 + 4. Зна­чит, тре­уголь­ник AKE пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Из ри­сун­ка видно, что яв­ля­ет­ся внеш­ним для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABK по опре­де­ле­нию квад­ра­та), сле­до­ва­тель­но, он равен сумме двух не­смеж­ных с ним углов:

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки ABK и KCE по­доб­ны по двум углам, при­чем

Пусть AB  =  3x, BK  =  3y, KC  =  2x, CE  =  2y. Из ра­вен­ства сто­рон квад­ра­та AB и BC: от­ку­да x  =  3y. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABK по­лу­ча­ем:

Вы­чис­лим пло­щадь квад­ра­та:

Ответ: б)  8,1.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

При от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях a си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, при си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Рас­смот­рим слу­чай В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы яв­ля­ет­ся ромб с вер­ши­на­ми в точ­ках и Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом Ана­ли­зи­руя гра­фи­ки, по­лу­ча­ем, что

—  при гра­фи­ки имеют две общих точки;

—  при гра­фи­ки имеют три общих точки;

—  при гра­фи­ки имеют че­ты­ре общих точки;

—  при гра­фи­ки имеют две общих точки;

—  при гра­фи­ки не имеют общих точек.

Зна­че­ние a₁ со­от­вет­ству­ет слу­чаю, при ко­то­ром одной из вер­шин ромба яв­ля­ет­ся точка

Зна­че­ние a₂ со­от­вет­ству­ет слу­чаю, при ко­то­ром две сто­ро­ны ромба ка­са­ют­ся окруж­но­сти, то есть рас­сто­я­ние от точки до пря­мой равно 5:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию, если за пер­во­го фут­бо­ли­ста про­го­ло­со­ва­ли x че­ло­век из 14, его рей­тинг равен округ­лен­но­му до бли­жай­ше­го це­ло­го числа, то есть от­ку­да и Зна­чит, те­перь его рей­тинг при­мер­но равен что будет округ­ле­но до 33.

б)  Да. Пусть из 200 по­се­ти­те­лей сайта 66 про­го­ло­со­ва­ли за пер­во­го фут­бо­ли­ста и по 67 за вто­ро­го и тре­тье­го. Тогда их рей­тин­ги будут равны 33, 34, 34  — в сумме 101.

Пусть всего было по­да­но n го­ло­сов, не счи­тая Васин, из ко­то­рых x были за этого фут­бо­ли­ста. Тогда по усло­вию

от­ку­да

Зна­чит, от­ку­да

При по­лу­ча­ем что не­воз­мож­но для це­ло­го x. При уве­ли­че­нии n и ниж­няя и верх­няя гра­ни­цы рас­тут. Пока верх­няя не ста­нет боль­ше 1800, целое x точно не най­дет­ся. Зна­чит,

При по­лу­ча­ем что тоже не­воз­мож­но. Те­перь нужно сде­лать верх­нюю гра­ни­цу не мень­ше 2000, то есть

При по­лу­ча­ем что воз­мож­но при Итак, ми­ни­маль­ное n равно 116, а вме­сте с Ва­си­ным го­ло­сом  — 117.

Ответ: а)  33, б)  да, в)  117.