Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 661831
i

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста  — доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 7,2; 9,5 и 11,8 округ­ля­ют­ся до 7; 10 и 12 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 14 по­се­ти­те­лей сайта, и рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста стал равен 36. Уви­дев это, Вася отдал свой голос за дру­го­го фут­бо­ли­ста. Чему те­перь равен рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста?

б)  Пусть по­се­ти­те­ли сайта от­да­ва­ли го­ло­са за од­но­го из трех фут­бо­ли­стов. Могла ли сумма рей­тин­гов быть боль­ше 100?

в)  На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста равен 9. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Вася отдал свой голос за этого фут­бо­ли­ста. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов, вклю­чая Васин голос, такое воз­мож­но?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По усло­вию, если за пер­во­го фут­бо­ли­ста про­го­ло­со­ва­ли x че­ло­век из 14, его рей­тинг равен  дробь: чис­ли­тель: 100x, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби , округ­лен­но­му до бли­жай­ше­го це­ло­го числа, то есть  35,5 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 100x, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби мень­ше 36,5, от­ку­да  497 мень­ше или равно 100x мень­ше 511 и  x = 5. Зна­чит, те­перь его рей­тинг при­мер­но равен  дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 100, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = целая часть: 33, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 , что будет округ­ле­но до 33.

б)  Да. Пусть из 200 по­се­ти­те­лей сайта 66 про­го­ло­со­ва­ли за пер­во­го фут­бо­ли­ста и по 67 за вто­ро­го и тре­тье­го. Тогда их рей­тин­ги будут равны 33, 34, 34  — в сумме 101.

Пусть всего было по­да­но n го­ло­сов, не счи­тая Васин, из ко­то­рых x были за этого фут­бо­ли­ста. Тогда по усло­вию

 8,5 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 100x, зна­ме­на­тель: n конец дроби мень­ше 9,5

и

 8,5 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 100 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби мень­ше 9,5,

от­ку­да

 17n мень­ше или равно 200x мень­ше 19n

и

 17n плюс 17 мень­ше или равно 200x плюс 200 мень­ше 19n.

Зна­чит,  17n мень­ше или равно 200x мень­ше 19n минус 200, от­ку­да  17n мень­ше 19n минус 200, n боль­ше 100.

При  n = 101 по­лу­ча­ем  1717 мень­ше или равно 200x мень­ше 1719, что не­воз­мож­но для це­ло­го x. При уве­ли­че­нии n и ниж­няя и верх­няя гра­ни­цы рас­тут. Пока верх­няя не ста­нет боль­ше 1800, целое x точно не най­дет­ся. Зна­чит,  19n минус 200 боль­ше 1800,  19n боль­ше 2000,  n боль­ше целая часть: 105, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 ,  n боль­ше или равно 106.

При  n = 106 по­лу­ча­ем  1802 мень­ше или равно 200x мень­ше 1814, что тоже не­воз­мож­но. Те­перь нужно сде­лать верх­нюю гра­ни­цу не мень­ше 2000, то есть  19n минус 200 боль­ше 2000,  19n боль­ше 2200,  n боль­ше целая часть: 115, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 19 ,  n боль­ше или равно 116.

При  n = 116 по­лу­ча­ем  1972 мень­ше или равно 200x мень­ше 2004, что воз­мож­но при  x = 10. Итак, ми­ни­маль­ное n равно 116, а вме­сте с Ва­си­ным го­ло­сом  — 117.

 

Ответ: а)  33, б)  да, в)  117.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а), б) и в).4
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а) и б)

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в)

2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 514199: 635868 635970 661831 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.07.2024. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Даль­ний Во­сток
Классификатор алгебры: Сю­жет­ные за­да­чи: кино, театр, мотки верёвки