На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например,
а) Всего проголосовало 14 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 36. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 9. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
а) По условию, если за первого футболиста проголосовали x человек из 14, его рейтинг равен округленному до ближайшего целого числа, то есть
откуда
и
Значит, теперь его рейтинг примерно равен
что будет округлено до 33.
б) Да. Пусть из 200 посетителей сайта 66 проголосовали за первого футболиста и по 67 за второго и третьего. Тогда их рейтинги будут равны 33, 34, 34 — в сумме 101.
Пусть всего было подано n голосов, не считая Васин, из которых x были за этого футболиста. Тогда по условию
и
откуда
и
Значит, откуда
При получаем
что невозможно для целого x. При увеличении n и нижняя и верхняя границы растут. Пока верхняя не станет больше 1800, целое x точно не найдется. Значит,
При получаем
что тоже невозможно. Теперь нужно сделать верхнюю границу не меньше 2000, то есть
При получаем
что возможно при
Итак, минимальное n равно 116, а вместе с Васиным
Ответ: а) 33, б) да, в) 117.

