PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
На координатной плоскости изображены векторы
и 
Найдите длину вектора 
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
В коробке 7 синих, 3 красных и 5 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Автомобиль, масса которого равна 
кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь 
метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно 
Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1440 Н. Ответ выразите в секундах.
На изготовление 345 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 483 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
На рисунке изображены графики функций вида 
которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Найдите точку минимума функции 
принадлежащую промежутку 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB = 24 и BC = 7. Боковые ребра 
и SD = 10.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решите неравенство 
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 27 млн рублей?
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
и 
Найдем координаты вектора 
спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна
метров, учитывая, что сила F при заданном значении массы автомобиля 1440 H. Задача сводится к решению неравенства 
при заданном значении массы автомобиля 
кг:
с.
деталей. На изготовление 345 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 483 таких же деталей, отсюда имеем:
и отрицательна при 
Поэтому искомая точка минимума — число 0,5.
Так как прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Получили, что ребро SA — высота пирамиды SABCD.
и 
Угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми SC и СЕ. Найдём угол SCE. 
и 
знаменатель левой части неравенства положителен и неравенство принимает вид:
В этом случае решение неравенства: 
(метод рационализации):
Значит, 
тогда исходное уравнение принимает вид:
или 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые 
и 
совпадает с точкой 
или 
или 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
и 
Получаем
Тогда 
и 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной 
и 
.
а станет равна 
и 
Можно, например, взять 168 чисел, у каждого из которых первая цифра равна 1, а вторая у 24 чисел равна 5, а у остальных 144 равна 4, тогда A и B получатся как раз такими, как нужно. Итак, годятся 144 числа 14 и 24 числа 15.
получаем 
Но 
означает, что чисел не более 96, а тогда сумма их последних цифр не превосходит 
находим 
откуда 
Итак, 
и можно взять 126 чисел с первой цифрой 1, 18 из них со второй цифрой 8, а остальные 108 со второй цифрой 9. Тогда 
