РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 4202533

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1.

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3000 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1100 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 700 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка сосисок стоит в магазине 100 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку сосисок 92 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена олова на момент закрытия торгов впервые за данный период стала равна 14900 долларов США за тонну.

Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме "Логарифмы". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Логарифмы".

Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 9 конец аргумента =4.$

В треугольнике АВС угол А равен 41°, а углы B и C  — острые, BD и CE  — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображен график функции y  =  f'(x)  — производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 9). В какой точке отрезка [2; 6] функция f(x) принимает наименьшее значение?

10.  

Куб описан около сферы радиуса 6. Найдите объём куба.

11.  

Найдите значение выражения $логарифм по основанию 5 7 умножить на логарифм по основанию 7 25.$

12.  

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST в степени 4 ,$ где P  — мощность излучения звезды, $\sigma=5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка Вт/м в квадрате К в степени 4$   — постоянная, S  — площадь поверхности звезды, а T  — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 128 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка м в квадрате ,$ а мощность её излучения равна $1,14 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 26 правая круглая скобка Вт.$ Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

13.  

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

14.  

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 13 часов, из которых 6 часов ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

15.  

Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка x минус 63 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 62 правая круглая скобка$ на отрезке [61; 63].

16.  

а)  Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $совокупность выражений минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

17.  

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3.

а)  Докажите, что угол $\angle APB$ меньше $60 градусов.$

б)  Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

18.  

Решите систему неравенств

$система выражений 3 в степени x плюс дробь: числитель: 54, знаменатель: 3 в степени x конец дроби больше или равно 29, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Верно решены оба неравенства системы, но не найдено или найдено неверно решение системы ИЛИ Решение доведено до конца, но получен неверный ответ в результате ОДНОЙ арифметической ошибки (описки).	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

19.  

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что $\angle$ BAC + $\angle$ AKC  =  90°.

а)  Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ а $BC=48.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

20.  

Найдите все значения a, при которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента =|x плюс a минус 5| плюс |x минус a плюс 5|$

имеет единственное решение.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу.	3
С помощью верного рассуждения получены искомые значения $a,$ возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной $t.$	2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и отрезка (2; 3] или (при аналитическом решении) найдено множество значений функции $y = t в квадрате плюс 2t,$ но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

21.  

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в)  Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл).	4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).	3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).	2
Верно получен один из перечисленных результатов: ―  приведен верный пример в пункте а; ―  обоснованное решение пункта б; ―  доказательство невозможности равенства полученных произведений в; ―  доказательство того, что любое четное натуральное число является ответом на вопрос пункта в.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505087	8
2	505088	8
3	505089	7
4	505090	5820
5	505091	4
6	505092	0,55
7	505093	73
8	505094	139
9	505095	2
10	505096	1728
11	505097	2
12	505098	4000
13	505099	0,25
14	505100	2
15	505101	-1
16	505104	$левая круглая скобка минус 1; логарифм по основанию 3 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$
17	505105	25.
18	510794	$a=3, a=7.$

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1.

Ключ