1. Тип 13 № 563720 
Источники:
Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение замены, Группировка, Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
Из первого уравнения получаем 
Для второго уравнения сделаем замену 
получим уравнение 
Его дискриминант равен нулю: 
тогда 
Сделав обратную замену, получаем
б) Отберём корни при помощи единичной окружности. Получим 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 563720
а) б)
б) Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение замены, Группировка, Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Для второго уравнения сделаем замену 
получим уравнение 
Его дискриминант равен нулю: 
тогда 
Сделав обратную замену, получаем
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
б) 
Получим числа: 
б) 
б) 
получим:
получим
Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
а 
Поэтому треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что 
откуда 
Окружность, описанная вокруг треугольника TCP, также описана вокруг четырёхугольника TACP, а угол ATC — прямой и вписанный в эту окружность. Следовательно, он опирается на диаметр AC, равный 7, по условию. Тогда 
а это средняя линия в треугольнике MDN. Таким образом, 
и 
Окончательно получаем:
и 
Окончательно получаем:
а тогда 
тыс. руб., вторая выплата равна 
тыс. руб., третья выплата равна 
тыс. руб. В следующие три года выплаты равны, соответственно: 
тыс. руб., 
тыс. руб. и 
тыс. руб. Общая сумма выплат, таким образом, составит: 
значит, 
при 
Для того чтобы уравнение имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно выполнения любого из условий а) — в):
имеет два решения, оба отличные от 
одно из которых совпадает с 
Отсюда вытекает, что при 
уравнение имеет единственное решение 
что не равно 
Следовательно, исходное уравнение имеет решения 
и 
уравнение имеет два решения, если
имеет ровно два решения.
раскроем модули:
возрастает на 
и убывает на 
А при 
возрастает на 
и убывает на 
Отдельно проверим, что при 
функция принимает лишь отрицательные значения.
или 
:
обозначим левую и правую части f(x) и g(x) соответственно и построим графики этих функций. Их графиков получим следующее.
уравнение имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть при 
два решения есть тогда и только тогда, когда 
откуда 
то есть при 
или 
получаем 
получаем 
система не имеет решений, при 
имеем 
получаем
и 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение не имеет корней; 
исходное уравнение имеет один корень 
исходное уравнение имеет два корня 
и 
