Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д11 C3 № 510999
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 умно­жить на 4 в сте­пе­ни x минус 5 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant2 в сте­пе­ни x минус 3. конец си­сте­мы

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в кубе минус 1 мень­ше или равно x в кубе плюс 2x минус 4,x боль­ше 1 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x боль­ше или равно 3,x боль­ше 1 конец си­сте­мы рав­но­силь­но x боль­ше или равно 1,5.

Мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:  левая квад­рат­ная скоб­ка 1,5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пусть 2 в сте­пе­ни x =t,t боль­ше 0, тогда дан­ное не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3t в квад­ра­те минус 10t плюс 3 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно t минус 3.

Об­ласть опре­де­ле­ния этого не­ра­вен­ства за­да­ет­ся усло­ви­ем:

3t в квад­ра­те минус 10t плюс 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,t боль­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти

При t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая часть не­ра­вен­ства не­от­ри­ца­тель­на, а пра­вая от­ри­ца­тель­на, сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при всех t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Имеем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3t в квад­ра­те минус 10t плюс 3 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно t минус 3,t боль­ше или равно 3 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,t\geqslant3 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0,t\geqslant3 конец си­сте­мы рав­но­силь­но t\geqslant3.

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни x \leqslant3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,2 в сте­пе­ни x \geqslant3. конец со­во­куп­но­сти рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x\leqslant минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3,x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3. конец со­во­куп­но­сти

Таким об­ра­зом, мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При­ни­мая во вни­ма­ние, что 1,5= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3, на­хо­дим, что ре­ше­ние дан­ной си­сте­мы: x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Верно ре­ше­ны оба не­ра­вен­ства си­сте­мы, но не най­де­но или най­де­но не­вер­но ре­ше­ние си­сте­мы

ИЛИ

Ре­ше­ние до­ве­де­но до конца, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те ОДНОЙ ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (опис­ки).

2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном из не­ра­венств си­сте­мы.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Пе­тер­бург 2014. Ва­ри­ант 1