Ре­ше­ние. Раз­де­лим 480 на 25:

Зна­чит, можно будет ку­пить 19 шо­ко­ла­док. Еще 9 будут даны в по­да­рок. Всего можно будет по­лу­чить 28 шо­ко­ла­док.

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что Мон­го­лия за­ни­ма­ет 4 место.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ний диа­го­на­лей:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Ука­зан­ные со­бы­тия про­ти­во­по­лож­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,83 = 0,17.

Ответ: 0,17.

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов: от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 3.

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра По­хо­ди­е­ва.

Угол ACB яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, сле­до­ва­тель­но, дуга AB, не со­дер­жа­щая точку C, со­став­ля­ет 135° · 2  =  270°. Тогда дуга AB, со­дер­жа­щая точку C, со­став­ля­ет 360°  –  270°  =  90°. Пусть O  — центр окруж­но­сти, тогда тре­уголь­ник AOB рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный, его катет равен ра­ди­у­су окруж­но­сти. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра тогда

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый, в свою оче­редь, равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A(8; 8), B(8; 1), C(3; 1). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу ACB:

Ответ: 1,4.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей приз­мы оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы. Таким об­ра­зом, он равен 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния Дж на по­лу­ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях массы тел кг и их ско­ро­стей м/с:

Зна­чит, угол

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва m кг, а масса вто­ро­го  —  кг, масса тре­тье­го спла­ва  —  кг. Пер­вый сплав со­дер­жит 40% меди, вто­рой  — 25% меди, тре­тий сплав  — 35% меди. Тогда:

Таким об­ра­зом, масса тре­тье­го спла­ва равна 30 кг.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Функ­ция опре­де­ле­на на Найдём её про­из­вод­ную:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 144.

Ре­ше­ние. a)  Сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мые и раз­ло­жим левую часть урав­не­ния на мно­жи­те­ли:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­стро­им пря­мую MN па­рал­лель­но CB и пря­мую KP па­рал­лель­но CB, Плос­кость NMP па­рал­лель­на BC и со­дер­жит NK, таким об­ра­зом NMP ис­ко­мая плос­кость α. По тео­ре­ме о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках имеем: Таким об­ра­зом, PM па­рал­лель­на SA, зна­чит, SA па­рал­лель­на α.

б)  За­ме­тим, что NM па­рал­лель­на DA и SA па­рал­лель­на PM , тогда Таким об­ра­зом, угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью SBC равен углу между плос­ко­стя­ми SBC и SDA. Тогда ис­ко­мый угол где F  — се­ре­ди­на BC, а O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Таким об­ра­зом,

а

Ответ:

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством ло­га­риф­ма:

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Учи­ты­вая, что при любом зна­че­нии x, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме си­ну­сов имеем: Че­ты­рех­уголь­ник MHNA впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AH, тогда по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MNA имеем:

Тре­уголь­ни­ки MAN и BAC по­доб­ны, по­сколь­ку

тогда Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

б)  По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле Тогда

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть кре­дит взят на n лет, сумма кре­ди­та равна S  =  5 млн руб. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

Номер года	Долг в ян­ва­ре (с уче­том про­цен­тов), руб.	Платёж, руб.	Долг в июле (после пла­те­жа), руб.
			S
1
2
...	...	...	...
	...	...
n

Сум­ми­ру­ем все вы­пла­ты:

По усло­вию сумма вы­плат со­ста­вит 7,5 млн руб­лей:

Зна­чит, кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на 4 года.

Ответ: 4 года.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кращённого умно­же­ния:

Изоб­ра­зим ре­ше­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы на плос­ко­сти xOa. Гра­фи­ком си­сте­мы (изоб­ра­же­но оран­же­вым) будет со­во­куп­ность двух пря­мых ис­клю­чая точки, ко­то­рые лежат на пря­мых а имен­но: точки

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер, в пер­вый день вы­пи­са­но 20 еди­ниц, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день вы­пи­сы­ва­ют на две еди­ни­цы мень­ше, зато до­бав­ля­ют трой­ку. Тогда ко­ли­че­ство чисел каж­дый день на 1 мень­ше, а сумма  — на 1 боль­ше, чем в преды­ду­щий.

б)  Да. Если в пер­вый день вы­пи­са­ли одну двой­ку и 10 троек (сред­нее  — во вто­рой день 6 чет­ве­рок и 4 пя­тер­ки (сред­нее  — 4,4), а в тре­тий день 9 пя­те­рок (сред­нее  — 5), то все усло­вия вы­пол­не­ны, при­чем сред­нее пер­во­го дня мень­ше 3, а сред­нее за все дни:

в)  Ясно, что в пер­вый день за­пи­са­но не более 6 чисел. Тогда

—  во вто­рой день не более пяти чисел с сум­мой не менее 7;

—  в тре­тий день не более че­ты­рех чисел с сум­мой не менее 8;

—  в чет­вер­тый день не более трех чисел с сум­мой не менее 9;

—  в пятый день не более двух чисел с сум­мой не менее 10.

Уже это воз­мож­но един­ствен­ным об­ра­зом  — две пя­тер­ки. Зна­чит, если в пятый день что-то во­об­ще пи­са­ли, то общая сумма со­ста­вит Если числа пи­са­ли лишь че­ты­ре дня, то в чет­вер­тый день было не более трех чисел, а их сумма была не более 15, по­это­му общая сумма не пре­вос­хо­дит Если числа пи­са­ли лишь три дня, то в тре­тий день было не более че­ты­рех чисел, а их сумма была не более 20, по­это­му общая сумма не пре­вос­хо­дит Если числа пи­са­ли лишь два дня, то во вто­рой день было не более пяти чисел, а их сумма была не более 25, по­это­му общая сумма не пре­вос­хо­дит Итак, ответ точно не боль­ше 48.

Оста­лось при­ве­сти со­от­вет­ству­ю­щий при­мер:

—  пер­вый день: 1, 1, 1, 1, 1, 1;

—  вто­рой день: 2, 2, 3, 3, 3;

—  тре­тий день: 3, 3, 4, 4;

—  чет­вер­тый день: 5, 5, 5.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  48.

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить это за­да­ние с за­да­ни­я­ми 526541 и 526345 из ос­нов­ной волны ЕГЭ 2019 года.