Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 16% и со­ста­ви­ла 3480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли  — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­рой воз­ду­ха 15 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 1 изоб­ражён пря­мо­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Маша кол­лек­ци­о­ни­ру­ет прин­цесс из Кин­дер-сюр­при­зов. Всего в кол­лек­ции 10 раз­ных прин­цесс, и они рав­но­мер­но рас­пре­де­ле­ны, то есть в каж­дом оче­ред­ном Кин­дер-сюр­при­зе может с рав­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми ока­зать­ся любая из 10 прин­цесс.

У Маши уже есть шесть раз­ных прин­цесс из кол­лек­ции. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить ещё 2 или 3 шо­ко­лад­ных яйца?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 40, ос­но­ва­ние равно 48. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Функ­ция y  =  f (x) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [−5; 5]. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те точку x₀, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если f (−5)  ≥  f (5).

Из еди­нич­но­го куба вы­ре­за­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 0,5 и бо­ко­вым реб­ром 1. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти остав­шей­ся части куба.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния если а

Рас­сто­я­ние (в км) от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те h м над землeй, до ви­ди­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где км  — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 4,8 км. К пляжу ведeт лест­ни­ца, каж­дая сту­пень­ка ко­то­рой имеет вы­со­ту 20 см. На какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­пе­нек нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы он уви­дел го­ри­зонт на рас­сто­я­нии не менее 6,4 ки­ло­мет­ров?

Два гон­щи­ка участ­ву­ют в гон­ках. Им пред­сто­ит про­ехать 60 кру­гов по коль­це­вой трас­се про­тяжённо­стью 3 км. Оба гон­щи­ка стар­то­ва­ли од­но­вре­мен­но, а на финиш пер­вый пришёл рань­ше вто­ро­го на 10 минут. Чему рав­ня­лась сред­няя ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка, если из­вест­но, что пер­вый гон­щик в пер­вый раз обо­гнал вто­ро­го на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дана тра­пе­ция с диа­го­на­ля­ми рав­ны­ми 8 и 15. Сумма ос­но­ва­ний равна 17.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет ак­ци­я­ми, цена ко­то­рых к концу года t ста­но­вит­ся рав­ной t² тыс. руб. (т. е. к концу пер­во­го года они стоят 1 тыс. руб., к концу вто­ро­го  — 4 тыс. руб. и т. д.), в те­че­ние 20 лет. В конце лю­бо­го года можно про­дать акции по их ры­ноч­ной цене на конец года и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги в банк под 25% го­до­вых. В конце ка­ко­го года нужно про­дать акции, чтобы при­быль была мак­си­маль­ной?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно два ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-то из них крас­ные, а какие-⁠то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 7, а зелёные числа крат­ны 5. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а)  Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 2325, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1467, если толь­ко одно число крас­ное?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1467.