Ре­ше­ние. Цена чай­ни­ка после по­вы­ше­ния стала со­став­лять 116% от на­чаль­ной цены. Раз­де­лим 3480 на 1,16:

Зна­чит, цена чай­ни­ка до по­вы­ше­ния со­став­ля­ла 3000 руб­лей.

Ответ: 3000.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что 15 июля наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ла 21 °C, а наи­мень­шая 8 °C. Их раз­ность со­став­ля­ет 13 °C.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка, равен по­ло­ви­не его диа­го­на­ли. Диа­го­наль равна 5, по­это­му ра­ди­ус равен 2,5.

Ответ: 2,5.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что ве­ро­ят­ность по­лу­че­ния новой прин­цес­сы равна а ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия  — по­лу­че­ние ста­рой прин­цес­сы  — Ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить 2 шо­ко­лад­ных яйца, равна Ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить 3 шо­ко­лад­ных яйца, равна Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность  — 0,24 + 0,144  =  0,384.

Ответ: 0,384.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −124.

Ре­ше­ние. Чтобы найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на:

Далее по фор­му­ле на­хо­дим:

Ответ: 25.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту CH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH и най­дем ее:

Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC, по­лу­чим от­ку­да

При­ве­дем ре­ше­ние Павла Юк­ля­е­ва.

Тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным, по­сколь­ку 48² < 40² + 40². В рав­но­бед­рен­ном ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке центр опи­сан­ной окруж­но­сти О лежит на вы­со­те, про­ве­ден­ной к ос­но­ва­нию.

Про­ве­дем вы­со­ту CH, най­дем ее из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOH по­лу­чим: а тогда

При­ве­дем ре­ше­ние Ар­те­ма Абро­си­мо­ва.

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Далее под­ста­вим числа:

Зная, най­дем

От­рез­ки AO и OC равны ис­ко­мо­му ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти R, по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AOC по­лу­ча­ем:

от­ку­да, под­став­ляя числа, за­клю­ча­ем:

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 25.

Еще одно ре­ше­ние при­ве­де­но в за­да­че 53843.

Ре­ше­ние. На­пом­ним, что если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a; b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b].

Таким об­ра­зом, функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на от­рез­ках [−5; −3] и [3; 5] и убы­ва­ет на от­рез­ке [−3; 3].

Из этого сле­ду­ет, что f при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние на левой гра­ни­це от­рез­ка, в точке −5, или в точке ми­ни­му­ма х_min  =  3. В силу воз­рас­та­ния f на от­рез­ке [3; 5] спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство f (5) > f (3). По­сколь­ку по усло­вию f (−5) не мень­ше, чем f (5), спра­вед­ли­ва оцен­ка f (−5) > f (3).

Таким об­ра­зом, наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ция f до­сти­га­ет в точке 3. Гра­фик одной из функ­ций, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию, при­ведён на ри­сун­ке.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние Б. М. Бек­ке­ра (Санкт-⁠Пе­тер­бург).

Не­пре­рыв­ность функ­ции на кон­цах от­рез­ка су­ще­ствен­на. Дей­стви­тель­но, если бы функ­ция f имела в точке 5 раз­рыв пер­во­го рода (см. рис.), зна­че­ние f (5) могло ока­зать­ся мень­ше зна­че­ния f (3), а тогда наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке [−5; 5] яв­ля­лось бы зна­че­ние функ­ции в точке 5.

При­ме­ча­ние пор­та­ла РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удив­ле­ны, об­на­ру­жив это за­да­ние в эк­за­ме­на­ци­он­ной ра­бо­те до­сроч­но­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.04.2014 г. Это не­про­стое за­да­ние от­сут­ству­ет в От­кры­тых бан­ках за­да­ний, что, не­со­мнен­но, ока­за­лось не­при­ят­ным сюр­при­зом для вы­пуск­ни­ков.

При­ме­ча­ние Алек­сандра Ла­ри­на (Москва).

В этой за­дач­ке весь ужас «вы­стре­лил вхо­ло­стую», 99,9999% ре­ша­ю­щих даже и не об­ра­тят вни­ма­ние на по­тен­ци­аль­ную угро­зу  — ответ-⁠то по­лу­ча­ет­ся такой же. А про со­от­но­ше­ние зна­че­ний на гра­ни­цах и уж тем более про не­пре­рыв­ность никто чи­тать и не со­би­ра­ет­ся :-) А вот если усло­вие слег­ка по­ме­нять, то «минус балл» всей стра­не обес­пе­чен будет.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей куба с реб­ром 1 и че­ты­рех гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 1, 0,5, 0,5, умень­шен­ной на две пло­ща­ди ос­но­ва­ния вы­ре­зан­ной приз­мы:

Ответ: 7,5.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ний и при за­дан­ном зна­че­нии R:

Сле­до­ва­тель­но, чтобы ви­деть го­ри­зонт на более да­ле­ком рас­сто­я­нии, на­блю­да­те­лю нужно под­нять­ся на метра. Для этого ему не­об­хо­ди­мо под­нять­ся на сту­пе­нек.

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние.

Ино­гда в фи­зи­ке или тех­ни­ке ис­поль­зу­ют фор­му­лы, в ко­то­рых ве­ли­чи­ны имеют раз­ные еди­ни­цы из­ме­ре­ния. На­при­мер, удоб­но вы­ве­сти такую фор­му­лу, чтобы при ее ис­поль­зо­ва­нии ра­ди­ус пла­не­ты не при­хо­ди­лось вы­ра­жать в мет­рах, а рост че­ло­ве­ка не надо было вы­чис­лять в долях ки­ло­мет­ра. Осо­бен­но часто такой под­ход при­ме­ня­ет­ся в ин­же­нер­ных расчётах. В дан­ной за­да­че ве­ли­чи­ны R и l вы­ра­же­ны в ки­ло­мет­рах, а h  — в мет­рах, о чем ска­за­но в усло­вии. Если бы все ве­ли­чи­ны в этой фор­му­ле из­ме­ря­лись в одних и тех же еди­ни­цах из­ме­ре­ния, она вы­гля­де­ла бы так: Ко­эф­фи­ци­ент 500 от­ра­жа­ет то, что все ве­ли­чи­ны, за ис­клю­че­ни­ем h, вы­ра­же­ны в ки­ло­мет­рах. Про­верь­те это.

Ре­ше­ние. Пер­вый обо­гнал вто­ро­го на 3 км за чет­верть часа, это зна­чит, что ско­рость уда­ле­ния (сбли­же­ния) гон­щи­ков равна Пусть ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка равна x км/ч, тогда ско­рость пер­во­го  — Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка равна 108 км/⁠ч.

Ответ: 108.

Ре­ше­ние. Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

От­сю­да имеем:

По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке −2, и оно равно 3.

Ответ: 3.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке В нашем слу­чае наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в точке −2 и равно 9. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ет и опре­де­ле­на в точке 9, для ис­ход­ной функ­ции имеем:

Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  По­сколь­ку от­рез­ку при­над­ле­жит толь­ко число 2.

Ответ: а) б) 2.

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме, об­рат­ной обоб­щен­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, MN || PQ, и по­то­му точки P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Пусть объём ABCD равен V. Пя­ти­гран­ник APMNCQ со­сто­ит из четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды PACNM с ос­но­ва­ни­ем ACNM и тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды PQCN с ос­но­ва­ни­ем QCN. Вы­ра­зим их объ­е­мы через V.

Рас­сто­я­ние от P до BCD вдвое мень­ше рас­сто­я­ния от A до BCD, а пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков QCN и BCD, по тео­ре­ме об от­но­ше­нии пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков с рав­ным углом, от­но­сят­ся как 1 : 6. Зна­чит,

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MBN со­став­ля­ет пло­ща­ди ABC. Зна­чит, Рас­сто­я­ние от точки P до ABC вдвое мень­ше рас­сто­я­ния от D до ABC, по­это­му

Таким об­ра­зом, то есть

Ответ: 13 : 23.

Ре­ше­ние. Пусть По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем через точку C пря­мую па­рал­лель­ную На пе­ре­се­че­нии этой пря­мой и пря­мой AD от­ме­тим точку   — па­рал­ле­ло­грамм.

В тре­уголь­ни­ке ACC₁:

За­ме­тим, что по­сколь­ку тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник  ACC₁ пря­мо­уголь­ный, угол  ACC₁ пря­мой. Тогда угол COD пря­мой, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  

Ответ: б) 60.

Ре­ше­ние. Пусть акции про­да­ны в конце года t за t² тыс. руб., и по­лу­чен­ная сумма по­ло­же­на в банк на остав­ши­е­ся 20 − t лет под 25% го­до­вых. Тогда цена акций на конец срока со­ста­вит тыс. руб. Найдём наи­боль­шее зна­че­ние по­лу­чен­ной функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных t, не пре­вос­хо­дя­щих 20. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке и ме­ня­ет в ней знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, это точка мак­си­му­ма. За­ме­тим, что

Из по­лу­чен­ной оцен­ки сле­ду­ет, что точка мак­си­му­ма лежит на ин­тер­ва­ле (8; 10). Срав­ним зна­че­ния функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10. По­сколь­ку

наи­боль­шее зна­че­ни­ем функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных ар­гу­мен­тов до­сти­га­ет­ся в точке 9. Про­да­вать акции не­об­хо­ди­мо в конце де­вя­то­го года.

Ответ: в конце де­вя­то­го года.

При­ме­ча­ние.

Без срав­не­ния зна­че­ний функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10 не обой­тись. На­при­мер, если точка мак­си­му­ма до­ста­точ­но близ­ка к точке 8, зна­че­ние в точке 8 может ока­зать­ся боль­ше, чем зна­че­ние в точке 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­кла­ды­вать день­ги в банк имеет смысл, когда доход в 25% го­до­вых, то есть еже­год­ное уве­ли­че­ние суммы в 1,25 раза, будет пре­вос­хо­дить еже­год­ный квад­ра­тич­ный рост цен. Про­сле­дим за до­ход­но­стью:

Ко­эф­фи­ци­ент до­ход­но­сти k за 9-й год боль­ше 1,25, а за 10-й год мень­ше 1,25. По­ка­жем, что в сле­ду­ю­щие годы он будет далее умень­шать­ся. Дей­стви­тель­но, в силу тож­деств

по­лу­ча­ем, что ко­эф­фи­ци­ент k мо­но­тон­но убы­ва­ет с уве­ли­че­ни­ем t.

Те­перь можно сде­лать вывод о том, что в конце де­вя­то­го года це­ле­со­об­раз­но пе­ре­ло­жить день­ги в банк.

Ре­ше­ние. Си­сте­ма не из­ме­ня­ет­ся при од­но­вре­мен­ной за­ме­не x на y, а y на x, при од­но­вре­мен­ной за­ме­не x на –x, а y на –y, при од­но­вре­мен­ной за­ме­не x на –y, а y на –x. Сле­до­ва­тель­но, есть си­сте­ма имеет ре­ше­ние то она имеет и ре­ше­ния и Чтобы си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, какие-то из пар долж­ны сов­па­дать.

Пары и сов­па­дать не могут, по­сколь­ку в этом слу­чае пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид а вто­рое при­ни­ма­ет вид что не­воз­мож­но од­но­вре­мен­но.

Если то пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид а вто­рое при­ни­ма­ет вид что также не­воз­мож­но.

Оста­ет­ся слу­чай Те­перь пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид а вто­рое при­ни­ма­ет вид В этом слу­чае от­ку­да по­лу­ча­ем един­ствен­ное воз­мож­ное зна­че­ние

При най­ден­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра си­сте­ма дей­стви­тель­но имеет ровно два ре­ше­ния:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­ним пер­вое урав­не­ние раз­но­стью, а вто­рое  — сум­мой ис­ход­ных урав­не­ний:

При вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, а зна­чит, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. При урав­не­ния си­сте­мы за­да­ют пря­мые:

Ясно (см. рис.), что при си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек A, B, C и D), а при   — два ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек M и N).

Ответ:

При­ведём ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние.

Из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы на­хо­дим, что число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, если При этом зна­че­нии па­ра­мет­ра си­сте­ма при­ни­ма­ет вид

и имеет 4 ре­ше­ния: или Такое зна­че­ние па­ра­мет­ра не под­хо­дит по усло­вию. Сле­до­ва­тель­но, чтобы си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо, чтобы а по­то­му и можно раз­де­лить обе части вто­ро­го урав­не­ния на х. На­хо­дим:

Из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­чен­ной си­сте­мы по каж­до­му зна­че­нию х можно найти един­ствен­ное зна­че­ние y. Зна­чит, си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда ровно два ре­ше­ния имеет пер­вое урав­не­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну по­лу­чим урав­не­ние

Ис­ход­ная за­да­ча рав­но­силь­на тре­бо­ва­нию найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых по­лу­чен­ное урав­не­ние при имеет ровно один по­ло­жи­тель­ный ко­рень. Если по­лу­чен­ное урав­не­ние имеет два корня, то эти корни од­но­го знака, так как по тео­ре­ме Виета зна­чит, этот слу­чай не под­хо­дит. Най­дем чет­верть дис­кри­ми­нан­та: По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние об­ра­ща­ет­ся в нуль при При этом зна­че­нии па­ра­мет­ра урав­не­ние имеет ко­рень Это ре­ше­ние по­ло­жи­тель­ное, по­это­му най­ден­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра ис­ко­мое.

Ответ:

При­ве­дем идею еще од­но­го ре­ше­ния.

За­ме­ним вто­рое урав­не­ние раз­но­стью пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний, по­лу­чим рав­но­силь­ную си­сте­му:

При по­лу­чен­ная си­сте­ма не­сов­мест­на. При пер­вое урав­не­ние за­да­ет окруж­ность, ко­то­рая долж­на иметь ровно две общие точки с пря­мы­ми

По­стро­ив гра­фи­ки, убеж­да­ем­ся, что ис­ко­мый слу­чай со­от­вет­ству­ет ка­са­нию окруж­но­сти с най­ден­ны­ми пря­мы­ми.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­смот­рим на сумму не­сколь­ких зелёных чисел. По­сколь­ку сумма будет ми­ни­маль­ной тогда, когда числа ми­ни­маль­ны, они долж­ны со­став­лять ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, с пер­вым чле­ном и раз­но­стью (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В слу­чае, если на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел их сумма равна:

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 40 на крас­ное число 35. Сумма 29 остав­ших­ся зелёных чисел и крас­но­го числа 35 будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа.

б)  Как было по­ка­за­но в в пунк­те а) ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 30 зе­ле­ных чисел  — 2325. Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из суммы 30 чисел самое боль­шое из на­пи­сан­ных  — 150:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим наи­мень­шее крас­ное число, то есть 7:

Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467. Зна­чит, если на доске на­пи­са­но толь­ко одно крас­ное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в)  Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Как было по­ка­за­но выше, при одном, самом ма­лень­ком, крас­ном числе сумма всех чисел боль­ше, чем 1467. Это озна­ча­ет, что нам не­об­хо­ди­мо за­ме­нять зе­ле­ные числа на крас­ные, при­чем, по­сколь­ку нам надо, чтобы крас­ных чисел было ми­ни­маль­ное число, то не­об­хо­ди­мо за­ме­нить ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство зе­ле­ных чисел, то есть наи­боль­шие зе­ле­ные числа за­ме­нять на наи­мень­шие крас­ные. Тогда суммы крас­ных и зелёных чисел, ана­ло­гич­но с преды­ду­щи­ми пунк­та­ми будут сум­ма­ми ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий:

Сумма всех чисел S долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1467, тогда:

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 10 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким об­ра­зом, сумма чисел, за­пи­сан­ных на доске, со­ста­вит:

За­ме­ним те­перь 80 на 77:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ет­ся, что наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10.