Ре­ше­ние. Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка со­став­ля­ет 120% от опто­вой цены. Чтобы найти 100% цены раз­де­лим 180 на 1,2:

по опто­вой цене на 10 000 руб­лей можно ку­пить 66 учеб­ни­ков.

Ответ: 66.

Ре­ше­ние. Чтобы найти сред­нюю ско­рость, не­об­хо­ди­мо пе­ре­ме­ще­ние раз­де­лить на время, за ко­то­рое это пе­ре­ме­ще­ние со­вер­ше­но.Таким об­ра­зом, сред­няя ско­рость: м/с.

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: тре­бу­ет­ся найти сред­нюю ско­рость, а не сред­нюю пу­те­вую ско­рость. У не­ко­то­рых чи­та­те­лей воз­ни­ка­ет со­блазн ис­кать сред­нюю пу­те­вую ско­рость. При дан­ной фор­му­ли­ров­ке за­да­ния это не­воз­мож­но: по усло­вию, на оси ор­ди­нат от­кла­ды­ва­ет­ся рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки, а не прой­ден­ный путь; кроме того, в усло­вии нет ука­за­ния на пря­мо­ли­ней­ность дви­же­ния. Эти об­сто­я­тель­ства не поз­во­ля­ют вы­яс­нить сред­нюю пу­те­вую ско­рость. Но о ней и не спра­ши­ва­ют. Вы­чис­ле­ние сред­ней ско­ро­сти нами при­ве­де­но верно.

Ре­ше­ние. На ри­сун­ке изоб­ра­жен рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник: AB  =  AC, по­это­му вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию ВС, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной. В то же время она яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1×2 клет­ки (см.рис.). Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Для по­го­ды на 4, 5 и 6 июля есть 4 ва­ри­ан­та: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х  — хо­ро­шая, О  — от­лич­ная по­го­да). Най­дем ве­ро­ят­но­сти на­ступ­ле­ния такой по­го­ды:

Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Ответ: 0,392.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что и ис­поль­зу­ем фор­му­лу Имеем:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки CFO и BEO рав­но­бед­рен­ные, так как и Тре­уголь­ни­ки DOF и COF равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе. Сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но Сле­до­ва­тель­но, сред­няя линия равна

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней, она имеет вид и её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен 0. Сле­до­ва­тель­но, мы ищем точку, в ко­то­рой уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен нулю, а зна­чит, и про­из­вод­ная равна нулю. Про­из­вод­ная равна нулю в той точке, в ко­то­рой её гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая точка

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле При­мем ромб за ос­но­ва­ние, тогда про­ве­ден­ная к нему вы­со­та где L  — длина бо­ко­во­го ребра, α   — угол между бо­ко­вым реб­ром и ос­но­ва­ни­ем (см. рис.). Пло­щадь ромба равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, умно­жен­ной на синус угла ромба. Вы­чис­лим объем:

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

по­это­му

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства cм/с при за­дан­ном за­ко­не из­ме­не­ния ско­ро­сти :

Таким об­ра­зом, пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла дви­же­ния ско­рость груза была не менее 2,5 см/с. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 0,67.

Ответ: 0,67.

Ре­ше­ние. Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм  — 95%. По­это­му 20 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.

Ответ: 190.

Ре­ше­ние. Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке в нашем слу­чае  — в точке −2. По­сколь­ку функ­ция воз­рас­та­ю­щая, а за­дан­ная функ­ция опре­де­ле­на при най­ден­ном зна­че­нии пе­ре­мен­ной, она до­сти­га­ет мак­си­му­ма в той же точке, в ко­то­рой до­сти­га­ет мак­си­му­ма под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние.

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Из неё сле­ду­ет, что По­это­му урав­не­ние можно пре­об­ра­зо­вать так:

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку.

По­лу­чим:

Ответ: а) б)

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та а.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что на ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки ли­ней­ных функ­ций. Найдём их урав­не­ния y  =  kx + b. Пер­вая пря­мая про­хо­дит через точки (−5; 1) и (−3; −2), сле­до­ва­тель­но

Зна­чит, урав­не­ние пер­вой пря­мой  —

Вто­рая пря­мая про­хо­дит через точки (−1; 3) и (1; −4), сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, урав­не­ние вто­рой пря­мой  —

Те­перь найдём абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства за­да­ет­ся усло­ви­ем На мно­же­стве имеем и тогда для вто­ро­го сла­га­е­мо­го по­лу­ча­ем

Далее имеем:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Можно было пре­об­ра­зо­вать пер­вое сла­га­е­мое к виду све­сти за­да­чу к не­ра­вен­ству ко­то­рое ло­га­риф­ми­ро­ва­ни­ем обеих ча­стей по ос­но­ва­нию 2 при­ве­сти к не­ра­вен­ству

Ре­ше­ние. а)  Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK  =  x. Пусть S  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p  — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R  =  x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 5R, 4R и 3R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б)  Пусть I и O  — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC  =  5R  =  10, и OM  =  AO − AM  =  5 − 2R  =  1.

Тогда

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Гри­го­рия Осо­ки­на.

Пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, тогда от­ре­зок IM пер­пен­ди­ку­ля­рен AС. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка IAM по­лу­чим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ICM по­лу­чим Из тре­уголь­ни­ка AIC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

Сле­до­ва­тель­но,

За­ме­тим, что как тупой угол, об­ра­зу­е­мый бис­сек­три­са­ми углов, сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние пунк­та а).

Пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, тогда

При­ме­ним фор­му­лу тан­ген­са двой­но­го угла:

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, эти углы в сумме со­став­ля­ют 90 гра­ду­сов, тогда угол

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вый объ­ект будет на­прав­ле­но х ра­бо­чих, су­точ­ная зар­пла­та ко­то­рых со­ста­вит Тогда на вто­рой объ­ект будет на­прав­ле­но ра­бо­чих  — су­точ­ная за­ра­бот­ная плата со­ста­вит В день на­чаль­ник будет дол­жен пла­тить ра­бо­чим у. е.

Рас­смот­рим функ­цию при Это квад­ра­тич­ная функ­ция, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен, сле­до­ва­тель­но, она имеет наи­мень­шее зна­че­ние при x₀  =  4,8. За­ме­тим, что точка ми­ни­му­ма не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ис­сле­ду­е­мая функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке 4 или в точке 5. Най­дем и срав­ним эти зна­че­ния:

Таким об­ра­зом, на мно­же­стве на­ту­раль­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 5. По­это­му не­об­хо­ди­мо на­пра­вить 5 ра­бо­чих на пер­вый объ­ект, 19 ра­бо­чих  — на вто­рой объ­ект. Зар­пла­та ра­бо­чих со­ста­вит 461 у. е.

Ответ: 5 ра­бо­чих на 1-⁠й объ­ект, 19 ра­бо­чих на 2-⁠й объ­ект; 461 у. е.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну По­сколь­ку то и каж­до­му та­ко­му t со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное

По­лу­ча­ем за­да­чу  — при каких a урав­не­ние имеет ко­рень, боль­ший чем ?

По­стро­им гра­фик этого урав­не­ния в плос­ко­сти tOa.

Пря­мые и раз­би­ва­ют плос­кость на че­ты­ре части (I, II, III и IV), в каж­дой из ко­то­рых гра­фик урав­не­ния пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы.

В об­ла­сти I оба под­мо­дуль­ных вы­ра­же­ния по­ло­жи­тель­ны и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Гра­фи­ком яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в точке с ко­ор­ди­на­та­ми

В об­ла­сти II вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но, а вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Гра­фи­ком яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в точке с ко­ор­ди­на­та­ми

Для об­ла­сти III по­лу­чим

Гра­фи­ком яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в точке с ко­ор­ди­на­та­ми

Для об­ла­сти IV по­лу­чим

Гра­фи­ком яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в точке с ко­ор­ди­на­та­ми

За­да­ча све­лась к от­ве­ту на во­прос: при каких зна­че­ни­ях a, го­ри­зон­таль­ная пря­мая имеет пе­ре­се­че­ние с гра­фи­ком функ­ции пра­вее вер­ти­каль­ной пря­мой (крас­ная линия).

По­лу­ча­ем ответ: при

Ре­ше­ние. Пусть Дима за­ду­мал цифру х, а Ни­ки­та  — цифру у. Не теряя общ­но­сти, можно по­ло­жить Тогда Маша вы­чис­ля­ла про­из­ве­де­ние Кроме того, мно­жи­те­ли не равны нулю, и, зна­чит,

а)  Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах, по­сколь­ку его пра­вая часть не­чет­на, а левая часть четна для любых зна­че­ний x и y.

б)  Урав­не­ние также не имеет ре­ше­ний. Для до­ка­за­тель­ства за­пи­шем его в виде Число 503 про­стое, сле­до­ва­тель­но, один из мно­жи­те­лей левой части кра­тен 503. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку по усло­вию числа x и y не боль­ше 9.

в)  Урав­не­ние за­пи­шем в виде

За­ме­тим, что если из чисел x, y, и хотя бы два де­лят­ся на 3, то и все они также де­лят­ся на 3. Но тогда левая часть де­лит­ся на 81, а пра­вая  ― нет. Зна­чит, ровно один со­мно­жи­тель в левой части де­лит­ся на 3, а сле­до­ва­тель­но, он де­лит­ся и на 9. Кроме того, по­сколь­ку 7  ― про­стое число, один из со­мно­жи­те­лей левой части де­лит­ся на 7.

По­сколь­ку мно­жи­те­ли y и не могут де­лить­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, на 9 де­лит­ся либо либо х. Рас­смот­рим эти ва­ри­ан­ты.

Если де­лит­ся на 9, то так как В этом слу­чае для де­ли­мо­сти на 7 либо (тогда   ― не под­хо­дит), либо (   ― не под­хо­дит).

Если же то для де­ли­мо­сти на 7 либо (под­хо­дит), либо (от­ку­да   ― не под­хо­дит), либо (от­ку­да   ― не под­хо­дит).

Тем самым, толь­ко пара яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да, 9 и 7.