СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 512359

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, если из­вест­но, что R = 2 .

Ре­ше­ние.

а) Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK = x. Пусть S — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R = x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 5R, 4R и 3R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б) Пусть I и O — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC = 5R = 10, и OM = AO − AM = 5 − 2R = 1.

Тогда

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 512359: 512401 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника