а)  Пусть впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K. Обо­зна­чим BK  =  x. Пусть S  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, p  — по­лу­пе­ри­метр. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, по фор­му­ле Ге­ро­на

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что R  =  x. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны 5R, 4R и 3R, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом при вер­ши­не B.

б)  Пусть I и O  — цен­тры со­от­вет­ствен­но впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC. Точка O  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AC  =  5R  =  10, и OM  =  AO − AM  =  5 − 2R  =  1.

Тогда

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Гри­го­рия Осо­ки­на.

Пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, тогда от­ре­зок IM пер­пен­ди­ку­ля­рен AС. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка IAM по­лу­чим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ICM по­лу­чим Из тре­уголь­ни­ка AIC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

Сле­до­ва­тель­но,

За­ме­тим, что как тупой угол, об­ра­зу­е­мый бис­сек­три­са­ми углов, сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние пунк­та а).

Пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, тогда

При­ме­ним фор­му­лу тан­ген­са двой­но­го угла:

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, эти углы в сумме со­став­ля­ют 90 гра­ду­сов, тогда угол