Ре­ше­ние. На 19 кг вишни тре­бу­ет­ся 19 · 1,5  =  28,5 кг са­ха­ра. Не­об­хо­ди­мо ку­пить 29 ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что дви­га­тель про­грел­ся до 30 гра­ду­сов Цель­сия.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка HDC равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ADC, по­сколь­ку это тре­уголь­ни­ки с со­на­прав­лен­ны­ми сто­ро­на­ми, при­чем HD вдвое мень­ше AD. По­сколь­ку пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADC равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пло­щадь тре­уголь­ни­ка HDC равна одной чет­вер­ти пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Пло­щадь тра­пе­ции AHCB равна раз­но­сти пло­ща­дей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD и тре­уголь­ни­ка HDC, тем самым она равна трём чет­вер­тям пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD или 2,25.

Ре­ше­ние. Один моток пряжи весит 50 г, по­это­му на сви­тер нужно 400:50 = 8 мот­ков. Рас­смот­рим оба ва­ри­ан­та.

Если по­ку­пать го­то­вую пряжу крас­но­го цвета, то сто­и­мость сви­те­ра будет 60 · 8  =  480 руб.

На не­окра­шен­ную пряжу нужно по­тра­тить 50 · 8  =  400 руб. Но на окрас­ку пряжи по­тре­бу­ет­ся 2 па­ке­ти­ка по 10 руб., то есть еще 20 руб. Итого на сви­тер из са­мо­сто­я­тель­но окра­шен­ной пряжи по­тра­тит­ся 420 руб.

Вто­рой ва­ри­ант де­шев­ле, чем пер­вый.

Ответ: 420.

Ре­ше­ние. Числу 7 равен ко­рень из 49, по­это­му под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние равно 49. Зна­чит, 5х равно 35, а х равен 7.

Ре­ше­ние. Если в четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Суммы длин двух из­вест­ных про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна 7 + 11  =  18, по­это­му чет­вер­тая сто­ро­на равна 18 − 13  =  5.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку имеем:

Ре­ше­ние. Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках −1 и −8 равна пло­ща­ди тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции, осью абс­цисс и пря­мой х  =  8. По­это­му

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. В силу па­рал­лель­но­сти пря­мых AB и E₁D₁ угол между FA и E₁D₁ равен углу между пря­мы­ми FA и AB. Угол FAB между смеж­ны­ми сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. Зна­чит, угол между пря­мы­ми FA и AB равен углу, смеж­но­му с углом FAB, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку под­те­ка­ют 2 на­со­са, не под­те­ка­ет 1998 на­со­сов. По­это­му, ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет, равна

Ответ: 0,999.

Ре­ше­ние. Объем пи­ра­ми­ды равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, его пло­щадь равна квад­ра­ту его сто­ро­ны т. е. 2450. Пусть центр ос­но­ва­ния  — точка О, тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ка­те­том SO в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOB. Тем самым вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

Таким об­ра­зом, объём пи­ра­ми­ды равен

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна Пусть масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная за­дан­ной функ­ции равна

Тем самым про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках −2 и 2, из ко­то­рых от­рез­ку [−10; −1] при­над­ле­жит число −2. Оста­лось срав­нить зна­че­ние функ­ции в точке −2 и зна­че­ния на гра­ни­цах от­рез­ка:

Наи­боль­шим из них яв­ля­ет­ся число 48.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или

При по­лу­чим от­ку­да

При по­лу­чим от­ку­да

б)  Так как то ко­рень не при­над­ле­жит про­ме­жут­ку По­сколь­ку ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим про­из­воль­ную точку P, при­над­ле­жа­щую вто­ро­му се­че­нию (не про­хо­дя­ще­му через центр). Рас­смот­рим пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ным плос­ко­стям и про­хо­дя­щую через центр шара  — точку O. Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет вто­ро­го се­че­ние в точке B. Рас­смот­рим, на­ко­нец, еще точку C, при­над­ле­жа­щую вто­ро­му се­че­нию и по­верх­но­сти шара. За­ме­тим, что Таким об­ра­зом, по­это­му точка P при­над­ле­жит кругу с цен­тром B и ра­ди­у­сом BC. В об­рат­ную сто­ро­ну: каж­дая точка круга с цен­тром B, ра­ди­у­сом BC, и ле­жа­ще­го во вто­рой плос­ко­сти, при­над­ле­жит шару. Таким об­ра­зом, се­че­ние есть круг.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через цен­тры се­че­ний. Обо­зна­че­ния даны на ри­сун­ке. OA  — ра­ди­ус шара, тогда S₁  =  π · OA²  — пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через его центр. BC  — ра­ди­ус мень­ше­го круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии, тогда S₂  =  π · BC²  — пло­щадь се­че­ния шара вто­рой плос­ко­стью.

Из от­но­ше­ния пло­ща­дей се­че­ний по­лу­ча­ем: OB  — рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми, рав­ное 2.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OBC: OC²  =  BC² + OB², от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. 1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай:

Вто­рой слу­чай:

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

3.  Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са 6, O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, O  — вер­ши­на угла, в ко­то­рый впи­са­ны окруж­но­сти, A и B  — точки ка­са­ния со­от­вет­ствен­но пер­вой и вто­рой окруж­но­стей с одной из сто­рон угла, тогда OO₁  =  2O₁A  =  12.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми O и O₂ (рис. 1), тогда OO₂  =  OO₁ + O₁O₂  =  16, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  4, O₁M  =  6, O₂M  =  8. По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми O и O₁ (рис. 2), тогда OO₂  =  OO₁ − O₁O₂  =  8, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, в тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  4, O₁M  =  6, O₂M  =  4, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Ре­ше­ние.

За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде

Пусть t  =  cosx, тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1]. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх,

Cле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1], либо при усло­вии (рис. 1) от­ку­да либо при усло­вии (рис. 2) от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Масса любых трёх таких глыб не пре­вос­хо­дит 5 тонн. Зна­чит, в 60 гру­зо­ви­ков можно по­гру­зить 180 таких глыб. Всего глыб 170, по­это­му их можно увез­ти на 60 гру­зо­ви­ках.

б)  Сум­мар­ная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500  =  190 000 (кг), то есть в точ­но­сти сов­па­да­ет с гру­зо­подъёмно­стью 38 гру­зо­ви­ков. Зна­чит, если воз­мож­но увез­ти эти глыбы на 38 гру­зо­ви­ках, то каж­дый гру­зо­вик дол­жен быть за­гру­жен пол­но­стью (по массе груза).

Если в каком-то гру­зо­ви­ке есть глыба мас­сой 800 кг, то един­ствен­ная воз­мож­ность за­гру­зить такой гру­зо­вик пол­но­стью  — это до­ба­вить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу мас­сой 1000 кг. Таким об­ра­зом, гру­зо­ви­ков, за­гру­жен­ных так, по­на­до­бит­ся 10 штук. По­сколь­ку оста­лось 60 глыб, мас­сой 1500 кг каж­дая, и 28 гру­зо­ви­ков, то в одном из гру­зо­ви­ков долж­но быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в гру­зо­вик, в ко­то­рый за­гру­же­но 3 глыбы, мас­сой 1500 кг каж­дая, ни­че­го боль­ше по­гру­зить не по­лу­чит­ся.

Зна­чит, на 38 гру­зо­ви­ках увез­ти эти глыбы нель­зя.

в)  В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что 38 гру­зо­ви­ков не хва­тит.

Если в 10 гру­зо­ви­ков за­гру­зить по 5 глыб, мас­сой 800 кг каж­дая, и глыбу мас­сой 1000 кг, в 25 гру­зо­ви­ков за­гру­зить по 2 глыбы, мас­сой 1000 кг каж­дая, и по 2 глыбы, мас­сой 1500 кг каж­дая, в 3 гру­зо­ви­ка за­гру­зить

3 глыбы, мас­сой 1500 кг каж­дая, и в один гру­зо­вик глыбу мас­сой 1500 кг, то все глыбы ока­жут­ся за­гру­же­ны в 39 гру­зо­ви­ков. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство гру­зо­ви­ков  — это 39.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  39.