Ре­ше­ние. Спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет ско­рость 39 миль в час, зна­чит, в ки­ло­мет­рах ско­рость ав­то­мо­би­ля со­ста­вит км в час.

Ответ: 63.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что наи­мень­шая цена за олово со­став­ля­ла 14500 дол­ла­ров США (см. рис.).

Ответ: 14500.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 18931.

Ре­ше­ние. Т. к. EF  — сред­няя линия, AC=2EF, CB=2EB, AB=2FB, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и EFB по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, тогда

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим рей­тинг каж­дой мо­де­ли.

Рей­тинг мо­де­ли «А»: R_A = (3 5 + 2 4 + 2 3 + 2 5 + 3) / 50 = 0,84.

Рей­тинг мо­де­ли «Б»: R_Б = (3 4 + 2 2 + 2 2 + 2 1 + 5) / 50 = 0,54.

Рей­тинг мо­де­ли «В»: R_В = (3 5 + 2 4 + 2 2 + 2 4 + 2) / 50 = 0,74.

Наи­боль­ший рей­тинг, рав­ный 0,84 имеет мо­дель «А».

Ответ: 0,84.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Ответ: −21.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BH из точки B на сто­ро­ну Тре­уголь­ник BHO  — пря­мо­уголь­ный. Тан­генс угла есть от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Сле­до­ва­тель­но

Ответ: 2,5.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Ответ: 42.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле [2; 11] спра­вед­ли­во ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x). Это точки 4; 7; 9; 10. Они все лежат на от­рез­ке [2; 11]. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [2; 11] урав­не­ние имеет 4 ре­ше­ния.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Се­че­ни­ем, про­хо­дя­щим через вер­ши­ны C, C₁ и A, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда пло­щадь равна

Ответ: 160.

Ре­ше­ние. Рав­но­ве­ро­ят­ны 4 ис­хо­да экс­пе­ри­мен­та: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Решка вы­па­да­ет боль­ше раз, чем орёл толь­ко в слу­чае решка-решка. По­это­му такая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 25 · 8 = 200 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 200 − 25 = 175 мл жид­ко­сти.

Ответ: 175.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра Ф:

Ответ: 2,25.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва кг, а масса вто­ро­го − кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние меди в пер­вом и вто­ром спла­вах и со­от­вет­ствен­но. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав кг, со­дер­жа­щий 10% меди. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Тогда масса тре­тье­го спла­ва равна: кг

Ответ: 63.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лу при­ве­де­ния, пе­ре­не­сем вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

Зна­чит, либо от­ку­да либо от­ку­да или где

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. а)  Любое се­че­ние шара плос­ко­стью  — это круг, при­чем ра­ди­ус этого круга не пре­вос­хо­дит ра­ди­у­са са­мо­го шара. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что где R  — ра­ди­ус мень­ше­го шара. Тогда пло­щадь его по­верх­но­сти, рав­ная не мень­ше чем 32. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов. Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми α и β дано на ри­сун­ке.

От­ре­зок FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью α, тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью α.

От­ре­зок AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью β, тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью β.

От­ре­зок CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой  AF. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α:

Ответ: б)  13.

Ре­ше­ние. 1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы: Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид: от­ку­да воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем:

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

3.  Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми A и O₂ (рис. 1), тогда O₂A  =  O₁A + O₁O₂  =  28, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми A и O₁ (рис. 2), тогда O₂A  =  O₁A − O₁O₂ от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

Эта си­сте­ма имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку если урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий либо про­ме­жут­ку либо про­ме­жут­ку

По­сколь­ку гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на на­хо­дит­ся в точке урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при усло­вии

Урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при усло­вии

Урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при и при

Ответ:

Ре­ше­ние. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что числа со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Пусть a  — пер­вый член этой про­грес­сии, d её раз­ность. Тогда сумма её чле­нов

а)  Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, и их сумма равна 10.

б)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии верно не­ра­вен­ство

Зна­чит, от­ку­да на­хо­дим Сумма ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние n равно 44.

в)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким об­ра­зом, число n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 258. Если то сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что или Про­грес­сии из 3 и 6 чле­нов с сум­мой 129 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а)  да; б)  44; в)  3, 6.