В доме, в ко­то­ром живёт Женя, один подъ­езд. На каж­дом этаже по во­семь квар­тир. Женя живёт в квар­ти­ре 87. На каком этаже живёт Женя?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в 2003 году. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (0;0), (10;7), (7;10).

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Сто­ро­на ромба равна 1, ост­рый угол равен 30°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти этого ромба.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен а вы­со­та равна 2.

Най­ди­те если

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных из­да­ний на ос­но­ве по­ка­за­те­лей ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op и объ­ек­тив­но­сти Tr пуб­ли­ка­ций. Каж­дый по­ка­за­тель  — целое число от −2 до 2.

Со­ста­ви­те­ли рей­тин­га счи­та­ют, что ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций це­нит­ся втрое, а объ­ек­тив­ность  — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Най­ди­те, каким долж­но быть число A, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все по­ка­за­те­ли мак­си­маль­ны, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 30.

Из пунк­та A в пункт B од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью 24 км/⁠ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути  — со ско­ро­стью, на 16 км/⁠ч боль­шей ско­ро­сти пер­во­го, в ре­зуль­та­те чего при­был в пункт B од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­лем. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/⁠ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C, AC  =  4, BC  =  16, Точка Q  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны C₁. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A₁ до плос­ко­сти APQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка I лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б)  Най­ди­те угол OIH, если

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [3; 4].

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли ока­зать­ся, что толь­ко два сту­ден­та на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­ден­тов могло на­пи­сать обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?