Ре­ше­ние. Раз­де­лим 87 на 8:

Зна­чит, Женя живет на 11 этаже.

Ответ: 11.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Со­ста­вим таб­ли­цу эта­жей.

Таким об­ра­зом, Женя живёт на один­на­дца­том этаже.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ла 20 °C (см. рис.).

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та со сто­ро­ной 10 и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми за­дан­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

Ответ: 25,5.

Ре­ше­ние. В пер­вом туре Рус­лан Орлов может сыг­рать с бад­мин­то­ни­ста­ми, из ко­то­рых из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии, равна 

Ответ: 0,36.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем обе части урав­не­ния в тре­тью сте­пень:

Ответ: 31.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти вдвое мень­ше его вы­со­ты d. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 0,25.

При­ве­дем ре­ше­ние Артёма Ма­лах­вея.

Про­ве­дем вы­со­ту ромба. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му вы­со­та ромба равна  Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты, то есть 0,25.

Ре­ше­ние. Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на то есть про­ме­жут­кам (−7; −5,5] и [−2,5; 4). Дан­ные про­ме­жут­ки со­дер­жат целые точки −6, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна −3.

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка a вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус r впи­сан­ной в него окруж­но­сти как Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Спо­соб 1: Тогда:

Спо­соб 2: раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на Тогда:

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку по­ка­за­те­ли мак­си­маль­ны, они все равны 2. Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу и учтем, что рей­тинг равен 30:

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч  — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, тогда ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля на вто­рой по­ло­ви­не пути равна км/ч. При­мем рас­сто­я­ние между пунк­та­ми за 1. Ав­то­мо­би­ли были в пути одно и то же время, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля была равна 32 км/⁠ч.

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках 5 и −5. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке:

Наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке будет ее зна­че­ние в точке 5. Най­дем его:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть R  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых PQ и A₁C₁, а K  — се­ре­ди­на B₁C₁ (см. рис.). Тогда M  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AR и CC₁.

Тре­уголь­ни­ки PKQ и PC₁R по­доб­ны, от­ку­да

От­ре­зок C₁M  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка AA₁R, по­сколь­ку A₁C₁  =  C₁R и пря­мые AA₁ и CC₁ па­рал­лель­ны. Зна­чит,

то есть M  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Рас­сто­я­ние от точки A₁ до плос­ко­сти APQ равно вы­со­те h пи­ра­ми­ды A₁AQR, опу­щен­ной из вер­ши­ны A₁.

Объём пи­ра­ми­ды A₁AQR:

C дру­гой сто­ро­ны, объём пи­ра­ми­ды A₁AQR:

Зна­чит,

В тре­уголь­ни­ке AQR на­хо­дим сто­ро­ны:

Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AQR равна

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов, пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Пе­рейдём к си­сте­ме:

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства: или Из вто­ро­го ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что и Ре­ше­ние тре­тье­го не­ра­вен­ства:

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Зна­чит,

Найдём угол BIC:

Зна­чит, по­это­му точки B, O, I и C лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Найдём угол BHC:

Зна­чит, по­это­му точки B, O, I, H и C лежат на одной окруж­но­сти.

По­сколь­ку по­лу­ча­ем В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BOC имеем:

Пря­мая BH пер­пен­ди­ку­ляр­на AC, по­это­му

Зна­чит, Бис­сек­три­са угла тре­уголь­ни­ка лежит внут­ри угла, об­ра­зо­ван­но­го ме­ди­а­ной и вы­со­той, ис­хо­дя­щи­ми из той же вер­ши­ны, по­это­му лучи BH, BI и BO пе­ре­се­ка­ют дугу окруж­но­сти в ука­зан­ном на ри­сун­ке по­ряд­ке. Четырёхуголь­ник BOIH впи­сан в окруж­ность, по­это­му

Ответ: б) 165°.

При­ме­ча­ние.

По­лез­но срав­нить часть а) этой за­да­чи с за­да­ни­ем 25 тре­ни­ро­воч­ной ра­бо­ты МИОО № 1 в фор­ма­те ГИА-⁠9 от 1 ок­тяб­ря 2013 года:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем: и Найдём ко­эф­фи­ци­ен­ты a, b и c, решив си­сте­му:

Найдём абс­цис­су точки B:

Таким об­ра­зом, Те­перь найдём ор­ди­на­ту точки B:

Ответ: − 16.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме не­ра­венств, на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти xОa. Ги­пер­бо­ла и гра­фик корня пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A(2; 1). Ги­пер­бо­ла и пря­мая пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Гра­фик корня и пря­мая пе­ре­се­ка­ют­ся в точке C(5; 2). Мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют за­дан­ной си­сте­ме (вы­де­ле­но штри­хов­кой на ри­сун­ке), со­сто­ит из точек кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, не вклю­чая гра­ни­цу, ле­жа­щую на дуге АС.

По­сколь­ку си­сте­ма долж­на иметь хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке
[3; 4], оста­лось опре­де­лить наи­мень­шую и наи­боль­шую ор­ди­на­ты про­ек­ции вы­де­лен­но­го на ри­сун­ке че­ты­рех­уголь­ни­ка на ось ор­ди­нат. Про­ек­ции точек B и дают ис­ко­мое мно­же­ство: за­дан­ная си­сте­ма не­ра­венств имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [3; 4] при

Ответ:

При­ве­дем ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние. За­ме­тим, что ис­ко­мы­ми могут быть толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра и за­пи­шем си­сте­му в виде

За­ме­тим, что

и рас­смот­рим три слу­чая.

Если то ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся по­лу­ин­тер­вал име­ю­щий общие точки с от­рез­ком [3; 4].

Если то Тогда ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся от­ре­зок Он су­ще­ству­ет, если

и пе­ре­се­ка­ет­ся с от­рез­ком [3; 4] тогда и толь­ко тогда, когда

При этот от­ре­зок вы­рож­да­ет­ся в точку 4, си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние это ре­ше­ние лежит на от­рез­ке [3; 4].

Если то В этом слу­чае ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся по­лу­ин­тер­вал Этот по­лу­ин­тер­вал су­ще­ству­ет, если

и имеет общие точки с от­рез­ком [3; 4] тогда и толь­ко тогда, когда

Объ­еди­няя рас­смот­рен­ные слу­чаи, по­лу­ча­ем ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + 2  =  30 кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно При этом сумма наи­выс­ших бал­лов равна 13 · 28  =  364. Сле­до­ва­тель­но, сумма наи­мень­ших бал­лов, на­бран­ных двумя сту­ден­та­ми, пи­сав­ши­ми обе ра­бо­ты, равна 450 − 364  =  86. Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты, a  — сумма бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты.

Тогда сумма всех на­бран­ных бал­лов: сумма наи­выс­ших бал­лов Тогда С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му от­ку­да

При­ведём при­мер, когда то есть если На­при­мер, 11 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты на 20  бал­лов, один сту­дент на­пи­сал обе кон­троль­ные, по­лу­чив за первую 20  бал­лов, а за вто­рую 16  бал­лов, 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную, при­чем 3 из них на­пи­са­ли ее на 20  бал­лов, а 5 из них  — на 0  бал­лов, и 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную, каж­дый на 8  бал­лов. Тогда обе кон­троль­ные пи­са­ли по 20  сту­ден­тов, на­брав за первую 3 · 20 + 12 · 20  =  300 бал­лов и за вто­рую 8 · 8 + 11 · 20 + 16  =  300 бал­лов.

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а по 4 сту­ден­та на­пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  12.