PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?
На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
| План «0» | Нет | 2,5 руб. за 1 Мб |
| План «500» | 550 руб. за 500 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб |
| План «800» | 700 руб. за 800 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб |
Пользователь предполагает, что его трафик составит 650 Мб в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?
Найдите корень уравнения 
Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах.
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина,
Найдите боковое ребро 
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 
Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление 
этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 
и 
их общее сопротивление даeтся формулой 
а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 8, 12 и 9.
а) Докажите, что расстояние от вершины 
до прямой 
больше, чем расстояние от вершины 
до прямой 
б) Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.
Решите систему неравенств 
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 15, AC = 9 и BC = 12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 4 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.
При каких значениях параметра а система 
имеет единственное решение?
Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
найдем высоту:
получаем:
В этом случае имеем:
— вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
и 
состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события 
и 
— события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:
яиц
яиц
яиц,
яиц
при известном значении сопротивления приборов 
:
м, 
Уравнение 
не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. 
откуда 
или 
откуда 
или 
б) 
поэтому уравнение можно преобразовать следующим образом:
на прямую 
то 
а, значит, отрезок 
В то же время 
— катет этого треугольника, поэтому 
откуда 
Далее находим:
откуда находим решение первого неравенства системы 
Полученные значения переменной удовлетворяют условию 
Имеем:
получаем: 
Решение второго неравенства исходной системы: 
получаем решение исходной системы неравенств:
поэтому AT = 3CD = 12. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, 
поэтому 
Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.
а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности. Расстояние СM было найдено выше.
— решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и 
Отсюда следует, что условие 
является необходимым условием существования у системы единственного решения.
Пусть 
Тогда система примет вид
и 
и, таким образом, 
Учитывая теперь, что 
приходим к неравенству
следовательно, 
т. е. при 
Итак, при 
система имеет единственное решение.
При таком значении параметра а система перепишется в виде
и, таким образом, при 
условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы.