Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 500063

а) Решите уравнение 4 косинус в кубе x плюс 3 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ минус 2 Пи ; минус Пи ].

Спрятать решение

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x=0 равносильно косинус x(4 косинус в квадрате x минус 3)=0.

Значит, или  косинус x=0, откуда x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z , или  косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,  косинус x=\pm дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби , откуда  x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k или x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .

 

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку [ минус 2 Пи ; минус Пи ]. Получим числа:  минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Ответ: а) \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z \; б)  минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

 

 

Приведем другое решение: 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x= косинус 3x, поэтому уравнение можно преобразовать следующим образом:

4 косинус в кубе x минус 3 косинус x=0 равносильно косинус 3x=0 равносильно 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .

Это решение приводит нас к альтернативной записи ответа пункта а).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Методы алгебры: Формулы приведения
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Илья Кузнецов 18.01.2015 16:50

Формула для cos x =m

x=+-arccos (m)+2Пn

У вас же получается

x=+-arccos (m)+Пn

Александр Иванов

Объединены корни двух уравнений  косинус x = m и  косинус x = минус m.

x=\pm \arccos m плюс 2 Пи k и x=\pm \arccos ( минус m) плюс 2 Пи k

Их можно записать как x=\pm \arccos m плюс Пи k

Гость 19.05.2015 19:46

Уважаемый редактор!

Серии решений данного уравнения  дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс Пи n и \pm дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс Пи k (где k,n принадлежит Z ) можно объединить в одну серию  дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс дробь: числитель: ( Пи m), знаменатель: 3 конец дроби (где m принадлежит Z ).

Указанное обстоятельство легко видеть из того факта, что все соседние генерирующие решения точки на единичной тригонометрической окружности отстоят друг от друга на угол  дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3.

С уважением, Иванов И.

Александр Иванов

Уважаемый Иванов И.

Конечно, можно. Никто с этим и не спорит.

С уважением, Иванов А.

Андрей Анатольевич 26.09.2016 15:44

Добрый день!

Здесь же в чистом виде ф-ла косинуса тройного угла (см. аналогию №500.346), поэтому простой и быстрый ответ П/6+Пk/3, kэZ

Корни б) те же!

С уважением,

Алексеев А. А.

Сергей Никифоров

Здравствуйте! В дополнительном решении мы как раз отмечаем этот факт.

Андрей Анатольевич 14.10.2016 13:59

Теперь всё ок - благодарю! ps. Сайт отличный!