Ре­ше­ние. Цена чай­ни­ка после по­вы­ше­ния стала со­став­лять 115% от на­чаль­ной цены. Раз­де­лим 3450 на 1,15:

Зна­чит, цена чай­ни­ка до по­вы­ше­ния со­став­ля­ла 3000 руб­лей.

Ответ: 3000.

Ре­ше­ние. Рас­по­ло­жим стра­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния ко­ли­че­ства вы­плав­ки алю­ми­ния в год:

1)  Бах­рейн

2)  ЮАР

3)  Ис­лан­дия

4)  Мо­зам­бик

5)  Ве­не­су­э­ла

6)  Ар­ген­ти­на

7)  Гер­ма­ния

8)  Та­джи­ки­стан

9)  Ни­дер­лан­ды

10) Новая Зе­лан­дия

Ис­лан­дия на­хо­дит­ся на тре­тьем месте.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BK из точки B на сто­ро­ну OA. Тогда, при­ни­мая во вни­ма­ние, что по­лу­чим:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Машин жел­то­го цвета с чер­ны­ми над­пи­ся­ми 27, всего машин 45. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на слу­чай­ный вызов при­е­дет ма­ши­на жел­то­го цвета с чер­ны­ми над­пи­ся­ми, равна:

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Боль­ший от­ре­зок сред­ней линии тра­пе­ции яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ADB, а зна­чит, равен по­ло­ви­не его ос­но­ва­ния.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны −4. Най­дем ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых y'(x₀) = −4, это со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка про­из­вод­ной с пря­мой y = −4. На дан­ном ин­тер­ва­ле таких точек 2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пло­щадь боль­шо­го круга равна πR², где R  — ра­ди­ус шара, а пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 4πR²  — в 4 раза боль­ше. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая пло­щадь равна 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния, ис­поль­зуя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной и за­дан­ной пло­ща­ди звез­ды

от­ку­да

Ответ: 3000.

Ре­ше­ние. Пусть x км/ч  — соб­ствен­ная ско­рость ка­те­ра, тогда ско­рость ка­те­ра по те­че­нию реки равна км/ч, а ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния равна км/ч. Катер вер­нул­ся в пункт A через 5 часов, но про­был в пунк­те B 1 час, по­это­му общее время дви­же­ния ка­те­ра да­ет­ся урав­не­ни­ем:

По­это­му соб­ствен­ная ско­рость ка­те­ра равна 8 км/ч.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном про­ме­жут­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

б)  В силу це­поч­ки со­от­но­ше­ний за­дан­но­му от­рез­ку при­над­ле­жит толь­ко число −1.

Ответ: а) {−1, 2}; б) −1.

Ре­ше­ние. а)  От­ре­зок MN  — сред­няя линяя тре­уголь­ни­ка ASB, по­сколь­ку он про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AS па­рал­лель­но сто­ро­не BS. По­это­му точка N  — се­ре­ди­на AB, и тогда от­рез­ки ON и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­сколь­ку от­ре­зок ON лежит на диа­мет­ре ос­но­ва­ния ко­ну­са, а диа­метр, пер­пен­ди­ку­ляр­ный хорде, делит её по­по­лам. Таким об­ра­зом, угол ANO пря­мой.

б)  Про­ведём в плос­ко­сти SOA от­ре­зок MH па­рал­лель­но SO, тогда MH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SOA:

Пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ко­ну­са, сле­до­ва­тель­но, BH  — про­ек­ция MB на плос­кость BOA, а тогда угол между MB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол MBH. За­ме­тим, что BH  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка OBA, и вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой для длины ме­ди­а­ны:

Тем самым, тре­уголь­ник BHM пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, по­это­му угол MBH равен 45°.

Ответ: б) 45°.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции, для этого при­ме­ним тео­ре­мы о зна­ках: при по­ло­жи­тель­ных a вы­ра­же­ния и имеют оди­на­ко­вые знаки, при по­ло­жи­тель­ных a вы­ра­же­ния и имеют оди­на­ко­вые знаки. Итак,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM  =  KM и KM  =  BM. Таким об­ра­зом,

в тре­уголь­ни­ке AKB ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, зна­чит, он пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD ⊥ AB. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что BC ⊥ AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABO₂O₁ по­стро­им вы­со­ту O₂H и найдём ее из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₂HO₁:

Тогда Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAD по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, по­это­му а

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка СКВ на­хо­дим тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка СКD на­хо­дим

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BСD на­хо­дим ис­ко­мый ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем при­быль за пер­вый год после окон­ча­ния стро­и­тель­ства. При p  =  10 для при­бы­ли по­лу­ча­ем ве­ли­чи­ну или Наи­боль­шее зна­че­ние дан­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при про­из­вод­стве тыс. ед. про­дук­ции и со­став­ля­ет млн. руб. Про­дол­жая вы­чис­ле­ния для p  =  11, 12 и 13, можно найти при­быль в по­сле­ду­ю­щие годы и убе­дить­ся, что через 4 года общая при­быль со­ста­вит 159 млн. руб.

При­ве­дем ре­ше­ние в чуть более общем виде.

Еже­год­но мак­си­маль­ная при­быль яв­ля­ет­ся наи­боль­шим зна­че­ни­ем квад­ра­тич­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке и равна

Тогда общая при­быль за n пер­вых лет со­ста­вит:

1 год: млн. руб.,

2 год: млн. руб. (общая 60,5 млн руб.),

3 год: млн. руб. (общая 104,5 млн руб.),

4 год: млн. руб. (общая 159 млн руб.).

Таким об­ра­зом, стро­и­тель­ство оку­пит­ся за 4 года.

Ответ: за 4 года.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние имеет ре­ше­ния при любом a из мно­же­ства зна­че­ний функ­ции опре­делённой на от­рез­ке Найдём мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на дан­ном от­рез­ке.

Вы­чис­лим про­из­вод­ную: Решим урав­не­ние

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Най­дем зна­че­ние функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в точке мак­си­му­ма:

Для вы­чис­ле­ния зна­че­ний си­ну­са и ко­си­ну­са ве­ли­чи­ны об­ра­тим­ся к ри­сун­ку: тан­генс от­ме­чен­но­го остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 2, синус и ко­си­нус этого угла на­хо­дим как от­но­ше­ние ка­те­тов к ги­по­те­ну­зе.

Итак, функ­ция на от­рез­ке воз­рас­та­ет, при­ни­мая зна­че­ния из от­рез­ка а на от­рез­ке убы­ва­ет, при­ни­мая зна­че­ния из от­рез­ка По­это­му урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при и

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, за­да­ю­щее функ­цию путем вве­де­ния вспо­мо­га­тель­но­го угла:

За­ме­тим, что и по­сколь­ку функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го мак­си­маль­но­го зна­че­ния 1 в нуле, то функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го в точке Оста­ет­ся найти зна­че­ния функ­ции на кон­цах от­рез­ка:

Таким об­ра­зом, функ­ция на от­рез­ке воз­рас­та­ет, при­ни­мая зна­че­ния из от­рез­ка а на от­рез­ке убы­ва­ет, при­ни­мая зна­че­ния из от­рез­ка По­это­му урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при и

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

Пусть Тогда а урав­не­ние за­пи­сы­ва­ет­ся в виде

Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат zOy и от­ме­тим на окруж­но­сти ω, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем точки и со­от­вет­ству­ю­щие по­во­ро­ту точки с ко­ор­ди­на­та­ми (1; 0) на угол и со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке тогда и толь­ко тогда, когда пря­мая l, за­да­ва­е­мая урав­не­ни­ем имеет с мень­шей дугой АВ окруж­но­сти ω един­ствен­ную общую точку.

Пусть пря­мая l про­хо­дит через точку А при про­хо­дит через точку В при и ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω при Тогда ис­ко­мы­ми яв­ля­ют­ся все зна­че­ния па­ра­мет­ра из по­лу­ин­тер­ва­ла и

Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек A и B в урав­не­ние пря­мой l, на­хо­дим:

Зна­че­ние a_C опре­де­лим сле­ду­ю­щим об­ра­зом: ка­са­нию пря­мой и окруж­но­сти со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы урав­не­ний и то есть един­ствен­ное ре­ше­ние урав­не­ния При­ве­дем его к виду и най­дем дис­кри­ми­нант ко­то­рый об­ра­ща­ет­ся в нуль при Ка­са­нию пря­мой и окруж­но­сти в I чет­вер­ти со­от­вет­ству­ет по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, тем самым,

Итак, и

Ре­ше­ние. а)  Объем скла­да 120 м³, по­это­му одно из из­ме­ре­ний скла­да крат­но трем. Будем класть кон­тей­не­ры длин­ной сто­ро­ной вдоль этого из­ме­ре­ния. Таким об­ра­зом, вдоль него пол­но­стью уме­стит­ся целое число кон­тей­не­ров. Вдоль осталь­ных из­ме­ре­ний лягут из­ме­ре­ния кон­тей­не­ров длины 1 м, по­это­му ука­зан­ным об­ра­зом склад га­ран­ти­ро­ван­но удаст­ся упа­ко­вать пол­но­стью.

б)  Рас­смот­рим склад с раз­ме­ра­ми 2×2×25 м. Оче­вид­но, что длин­ную сто­ро­ну кон­тей­не­ра можно по­ме­стить толь­ко вдоль длин­ной сто­ро­ны скла­да. При этом по­ме­стит­ся не более вось­ми кон­тей­не­ров, то есть по­ме­стит­ся мак­си­мум 32 кон­тей­не­ра и еще 4 м³ объ­е­ма оста­нет­ся сво­бод­но.

в)  По­ка­жем, что 99% объ­е­ма скла­да 2×2×200 м можно за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми. По­ло­жим 66 кон­тей­не­ров длин­ной сто­ро­ной вдоль двух­сот­мет­ро­вой сто­ро­ны скла­да. Рядом с ними по­ло­жим вто­рой ряд из 66 кон­тей­не­ров. На по­лу­чен­ные два ниж­них ряда по­ло­жим такие же два верх­них ряда. Не­за­пол­нен­ным оста­нет­ся про­стран­ство 2×2×2 м или 1% объ­е­ма скла­да.

Оста­лось по­ка­зать, что при любой дру­гой кон­фи­гу­ра­ции скла­да по­лу­чит­ся за­пол­нить не менее 99% объ­е­ма. Дей­стви­тель­но, пусть сто­ро­на а скла­да a×b×c м не мень­ше трех. От­де­лим от нее уча­сток скла­да со сто­ро­ной 3, то есть с раз­ме­ра­ми 3×b×c м. Его можно за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми без пу­стот. Про­дол­жа­ем от­де­лять такие участ­ки, пока не оста­нет­ся па­рал­ле­ле­пи­пед с из­ме­ре­ни­я­ми, не пре­вос­хо­дя­щи­ми 2×2×2. Это и озна­ча­ет, что пу­стом про­стран­ством оста­нет­ся не более 8 из 800 ку­бо­мет­ров.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  99%.