Ре­ше­ние. Из де­вя­ти­сот грамм риса можно при­го­то­вить пор­ций каши.

Из трех лит­ров мо­ло­ка можно при­го­то­вить пор­ций каши.

Сле­до­ва­тель­но, про­дук­тов до­ста­точ­но толь­ко на 22 пор­ции каши.

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 400 км в час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна со­ро­ка ки­ло­нью­то­нам.

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и двух оди­на­ко­вых пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Один моток пряжи весит 50 г, по­это­му на сви­тер нужно 400:50 = 8 мот­ков. Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Если по­ку­пать го­то­вую пряжу си­не­го цвета, то сто­и­мость сви­те­ра будет 60 · 8  =  480 руб.

На не­окра­шен­ную пряжу нужно по­тра­тить 50 · 8  =  400 руб. Но на окрас­ку пряжи по­тре­бу­ет­ся 2 па­ке­ти­ка по 10 руб., то есть еще 20 руб. Итого на сви­тер из са­мо­сто­я­тель­но окра­шен­ной пряжи по­тра­тит­ся 420 руб.

Вто­рой ва­ри­ант де­шев­ле, чем пер­вый.

Ответ: 420.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем обе части урав­не­ния в тре­тью сте­пень:

Ответ: −10.

Ре­ше­ние. ##

Ответ: 96.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку угол лежит в чет­вер­той чет­вер­ти, его ко­си­нус по­ло­жи­те­лен. По­это­му

Окон­ча­тель­но на­хо­дим, что

Ответ: −0,96.

Ре­ше­ние. Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

Тогда на­хо­дим:

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда длина равна

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. В со­рев­но­ва­нии при­ни­ма­ет уча­стие 6 спортс­ме­нов из Рос­сии, всего 60 участ­ни­ков. Тогда ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, вы­сту­па­ю­щий де­ся­тым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

По­сколь­ку все ребра умень­ши­лись в два раза, пе­ри­метр и апо­фе­ма тоже умень­ши­лись в два раза. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

Ответ: 3,25.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равны сумме пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней. Если все ребра умень­шить в два раза, то каж­дая бо­ко­вая грань ис­ход­ной пи­ра­ми­ды будет по­доб­на бо­ко­вой грани по­лу­чив­шей­ся пи­ра­ми­ды с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных фигур равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь каж­дой грани по­лу­чив­шей­ся пи­ра­ми­ды будет в 4 раза мень­ше пло­ща­ди со­от­вет­ству­ю­щей грани ис­ход­ной пи­ра­ми­ды. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти по­лу­чив­шей­ся пи­ра­ми­ды равна

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях силы кН и длины пути м:

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим n  — число задач, ко­то­рые ре­ша­ет за час Гоша, тогда Вова за час ре­ша­ет задач. Вме­сте они решат 33 за­да­чи на 1 час 15 минут быст­рее, чем это сде­лал бы один Вова, от­сю­да имеем:

По­сколь­ку за час маль­чи­ки ре­ша­ют целое ко­ли­че­ство задач Таким об­ра­зом, Гоша ре­ша­ет 10 задач в час и решит 20 задач за 2 часа.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Зна­че­ния функ­ции лежат в пре­де­лах от­рез­ка [−1; 1]. Мы ищем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции, есте­ствен­но по­тре­бо­вать, чтобы В таком слу­чае на долж­но быть Это урав­не­ние имеет ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке: Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 0, оно равно

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Функ­ция на за­дан­ном от­рез­ке воз­рас­та­ет, при­ни­мая все зна­че­ния от −1 до 0. Функ­ция на от­рез­ке [−1; 0] воз­рас­та­ет, при­ни­мая наи­боль­шее зна­че­ние 1 в точке 0. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 0, оно равно 1 + 2 = 3.

Ре­ше­ние. а)  

Из урав­не­ния (1) на­хо­дим:

Так как ре­ше­ния урав­не­ния (a) не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию (2), то окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

б)  Из най­ден­ных в пунк­те а) ре­ше­ний про­ме­жут­ку при­над­ле­жит толь­ко одно число:

Ответ: а) б)

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 501215.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что угол BAC  ― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре AA₁. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Пусть вы­со­та приз­мы равна h. Тогда из тео­ре­мы ко­си­ну­сов

По­это­му угол BA₁C₁ боль­ше угла BAC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  ABCA₁B₁C₁ ― пря­мая приз­ма, ее бо­ко­вые грани  ― пря­мо­уголь­ни­ки, по­это­му рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ равно AB, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и СС₁ равно AC. Таким об­ра­зом, AB  =  5, AC  =  8 и

Пусть от­ре­зок AH  ― вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC (см. рис.). Вы­со­та AH пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не BC, а вы­со­та AH пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру BB₁, по­это­му вы­со­та AH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти (BC₁C), и, зна­чит, длина от­рез­ка AH и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до па­рал­лель­ной ей плос­ко­сти BC₁C.

Рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник ABC, на­хо­дим:

Тогда

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C равно

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. По­ло­жим Тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид от­ку­да Таким об­ра­зом,

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Так как и для лю­бо­го вос­поль­зо­вав­шись тож­де­ством и ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­ча­ем:

Срав­ним числа и Имеем а, зна­чит, т. е., от­ку­да и по­лу­ча­ем ре­ше­ние дан­ной си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. Слу­чай 1. Угол A ― ост­рый (см. рис. 1).

Имеем: от­ку­да

Далее на­хо­дим:

а)  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABM:

б)  из че­ты­рех­уголь­ни­ка AMHN:

Слу­чай 2. Угол A ― тупой (см. рис. 2).

Ана­ло­гич­но слу­чаю 1 имеем:

а)  

б)  

в)  

Ответ: или

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим зна­ме­на­тель левой части дан­но­го не­ра­вен­ства на мно­жи­те­ли:

Спо­соб 1 (метод ин­тер­ва­лов).

по­это­му зна­ме­на­тель ис­ход­ной дроби имеет корни a и Если числа 2, a и  по­пар­но раз­лич­ны, то ис­ко­мое мно­же­ство ― объ­еди­не­ние двух про­ме­жут­ков, а не луч. Зна­чит, для того, чтобы мно­же­ством ре­ше­ний не­ра­вен­ства

1.   Если или то мно­же­ством ре­ше­ний дан­но­го не­ра­вен­ства также яв­ля­ет­ся не луч, а объ­еди­не­ние двух про­ме­жут­ков: (см. рис. 1).

2.   Если то по­сколь­ку, со­глас­но усло­вию,

Спо­соб 2 (гра­фо­ана­ли­ти­че­ский).

Дан­ное не­ра­вен­ство при по­ло­жи­тель­ных a за­да­ет на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти xOa три об­ла­сти (см. за­штри­хо­ван­ные об­ла­сти на рис. 3).

Мно­же­ство ре­ше­ний дан­но­го не­ра­вен­ства при каж­дом зна­че­нии a есть мно­же­ство абс­цисс всех точек этих об­ла­стей, ор­ди­на­та ко­то­рых равна a.

Это мно­же­ство яв­ля­ет­ся лучом толь­ко при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  1. Если один из бра­тьев по­лу­чит зо­ло­тых, то вто­рой по­лу­чит В этом слу­чае пер­вый брат за­пла­тит налог а вто­рой ― Сле­до­ва­тель­но, общая сумма, ко­то­рая оста­нет­ся у бра­тьев после на­ло­го­об­ло­же­ния зо­ло­тых.

2.  Если каж­дый из них по­лу­чит более зо­ло­тых, зна­чит, они оба за­пла­тят налог и тогда в сумме у них оста­нет­ся зо­ло­тых.

3.  Пусть один из них по­лу­чит x зо­ло­тых, где Тогда его брат по­лу­чит зо­ло­тых, при­чем это число будет боль­ше Зна­чит, пер­вый брат за­пла­тит налог а вто­рой ― Таким об­ра­зом, после на­ло­го­об­ло­же­ния у них оста­нет­ся зо­ло­тых. Оче­вид­но, что чем боль­ше x, тем боль­ше дан­ная сумма. Зна­чит, сле­ду­ет вы­брать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние x, то есть В этом слу­чае в семье оста­нет­ся зо­ло­тых, что боль­ше, чем в пер­вом и во вто­ром слу­ча­ях.

Ответ: 400 и 600.

б)   За­ме­тим, что чем мень­ше зо­ло­тых от­да­дут бра­тья в ка­че­стве на­ло­га, тем боль­ше денег у них оста­нет­ся. Таким об­ра­зом, можно ре­шать рав­но­силь­ную за­да­чу: рас­пре­де­лить день­ги между бра­тья­ми так, чтобы они в сумме за­пла­ти­ли как можно мень­ше.

1.  Пусть все три брата по­лу­чи­ли от 101 до 400 зо­ло­тых. В этом слу­чае каж­дый из них за­пла­тил налог 20%, а зна­чит, они долж­ны в сумме за­пла­тить 200 зо­ло­тых.

2.  Пусть хотя бы один из бра­тьев по­лу­чил более 400 зо­ло­тых. Тогда он дол­жен за­пла­тить налог 50%, то есть более 200 зо­ло­тых. В этом слу­чае сумма, ко­то­рую за­пла­тят все три брата, боль­ше 200 зо­ло­тых. Таким об­ра­зом, рас­пре­де­ле­ние, разо­бран­ное в пер­вом слу­чае, вы­год­нее.

3.  Пусть хотя бы один из бра­тьев по­лу­чил не более 100 зо­ло­тых. В этом слу­чае осталь­ные 900 зо­ло­тых нужно рас­пре­де­лить между двумя бра­тья­ми, а зна­чит, хотя бы у од­но­го из них ока­жет­ся сумма не мень­ше 450 зо­ло­тых. Этот слу­чай разо­бран в п.2.

Сле­до­ва­тель­но, сумма, ко­то­рая оста­нет­ся у бра­тьев, будет наи­боль­шей в том слу­чае, если каж­дый из них по­лу­чит от 101 до 400 зо­ло­тых. При этом вер­ным будет любое раз­би­е­ние 1000 зо­ло­тых на три сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых лежит в ука­зан­ном про­ме­жут­ке (в ка­че­стве при­ме­ра можно вы­брать числа 366, 366 и 268).

Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма ко­то­рых равна 1000 (на­при­мер, 366, 366 и 268).