Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 20 мг и со­дер­жит 9% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,35 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси  — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упадёт на­пря­же­ние с 10-го по 22-й час ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 37. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

В клас­се 21 ше­сти­класс­ник, среди них два друга  — Митя и Петя. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на три груп­пы, по 7 че­ло­век в каж­дой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Митя и Петя ока­жут­ся в раз­ных груп­пах.

Ре­ши­те урав­не­ние

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 61°, угол CAD равен 37°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 13). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y  =  −2x − 10 или сов­па­да­ет с ней.

Объём пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равен 116. Точка E  — се­ре­ди­на ребра SB. Най­ди­те объём тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды EABC.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 30 до 50 см, а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на  — в пре­де­лах от 160 до 180 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чётким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы нужно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Из го­ро­дов A и B нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в B на 12 часов рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в A, а встре­ти­лись они через 2 часа 30 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из B в A ве­ло­си­пе­дист?

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни на про­ме­жут­ке

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды PABC ― пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, сто­ро­на ко­то­ро­го равна 16, бо­ко­вое ребро PA ― Вы­со­та пи­ра­ми­ды PH делит вы­со­ту AM тре­уголь­ни­ка ABC по­по­лам. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой PM и пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую PM в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит вы­со­ту PH пи­ра­ми­ды PABC в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны P.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми PH и CK.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Угол MKN тре­уголь­ни­ка KMN равен Сто­ро­на MN яв­ля­ет­ся хор­дой окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом R, про­хо­дя­щей через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник MKN.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка KMON можно опи­сать окруж­ность.

б)  Из­вест­но, что в четырёхуголь­ник KMON можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус r этой окруж­но­сти, если R = 12,

Агата Ар­ту­ров­на взяла кре­дит в банке на 4 года на сумму 7 320 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы: в конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет те­ку­щую сумму долга на 20%. Агата Ар­ту­ров­на хочет вы­пла­тить весь долг двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми ― в конце вто­ро­го и чет­вер­то­го годов. При этом пла­те­жи в каж­дом слу­чае вы­пла­чи­ва­ют­ся после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит каж­дый из этих пла­те­жей?

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке

На­зо­вем на­ту­раль­ное число хо­ро­шим, если в нем можно пе­ре­ста­вить цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 11.

а)  Яв­ля­ет­ся ли число 5432 хо­ро­шим?

б)  Яв­ля­ет­ся ли число 10235 хо­ро­шим?

в)  Найти наи­мень­шее хо­ро­шее число, со­сто­я­щее из раз­лич­ных не­чет­ных цифр.