Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 519541

Основание пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA8 корень из { 3}. Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A проведена плоскость, перпендикулярная прямой PM и пересекающая прямую PM в точке K.

а) Докажите, что плоскость делит высоту PH пирамиды PABC в отношении 2:1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и CK.

Решение.

а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке N (см. рисунок 1). Так как \alpha \bot PM и AK\subset \alpha , то AK\bot PM. Далее имеем: AM= дробь, числитель — AB корень из { 3}, знаменатель — 2 =8 корень из { 3}=AP. Значит, AK ― высота и медиана треугольника PAM. Следовательно, N ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем PN:NH=2:1, что и требовалось доказать.

б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC, тогда KL\parallel PH и, значит, L принадлежит AM. Так как KL\parallel PH и PK=KM, то L ― середина MH. Отрезок CL ― проекция отрезка CK на плоскость ABC.

Далее, поскольку (ABC)\bot PH, точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и CK равно расстоянию от точки H до прямой CL, т.е., высоте HF треугольника CHL. (см. рисунок 2).

Далее имеем: HM= дробь, числитель — AM, знаменатель — 2 =4 корень из { 3}, LH=LM= дробь, числитель — HM, знаменатель — 2 =2 корень из { 3},

CL= корень из { C{{M} в степени 2 } плюс L{{M} в степени 2 }}=2 корень из { 19}, HF= дробь, числитель — 2{{S}_{\Delta CHL}}, знаменатель — CL . Так как LH=LM, то {{S}_{\Delta CHL}}={{S}_{\Delta CLM}}. Таким образом, HF= дробь, числитель — 2{{S}_{\Delta CHL}}, знаменатель — CL = дробь, числитель — CM умножить на ML, знаменатель — CL = дробь, числитель — 8 умножить на 2 корень из { 3}, знаменатель — 2 корень из { 19 }= дробь, числитель — 24, знаменатель — корень из { 57 }.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 24, знаменатель — корень из { 57 }.


Аналоги к заданию № 519515: 519541 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.