Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 8 № 519537

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 36 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение  дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ дайте в сантиметрах.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку f=36 имеем:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби .

Наименьшему возможному d_1 значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность  дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого  дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби , которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя d_2. Поэтому d_2=180, откуда

 дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 180 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 180 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 45 конец дроби равносильно d_1=45 см.

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию.

 

Ответ: 45.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.