СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519543

Угол MKN треугольника KMN равен . Сторона MN является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник MKN.

а) Докажите, что около четырёхугольника KMON можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник KMON можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R = 12, .

Решение.

а) Пусть точка P ― центр окружности, вписанной в треугольник KMN (см.рисунок).

Тогда и , откуда получаем . Углы MNP и NMP вписаны в окружность O(R), поэтому . Значит, и . Следовательно, около четырёхугольника KMON можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) В четырёхугольник KMON можно вписать окружность, следовательно, , откуда . Таким образом, треугольник ― равносторонний треугольник со стороной , а треугольник ― равнобедренный треугольник с боковой стороной . Далее имеем:

, , . Учитывая, что , окончательно получаем .

 

Ответ: .


Аналоги к заданию № 519517: 519543 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники