СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519543

Угол MKN тре­уголь­ни­ка KMN равен . Сто­ро­на MN яв­ля­ет­ся хор­дой окруж­но­сти с цен­тром O и ра­ди­у­сом R, про­хо­дя­щей через центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник MKN.

а) До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка KMON можно опи­сать окруж­ность.

б) Из­вест­но, что в четырёхуголь­ник KMON можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус r этой окруж­но­сти, если R = 12, .

Ре­ше­ние.

а) Пусть точка P ― центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник KMN (см.ри­су­нок).

Тогда и , от­ку­да по­лу­ча­ем . Углы MNP и NMP впи­са­ны в окруж­ность O(R), по­это­му . Зна­чит, и . Сле­до­ва­тель­но, около четырёхуголь­ни­ка KMON можно опи­сать окруж­ность, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) В четырёхуголь­ник KMON можно впи­сать окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, , от­ку­да . Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник ― рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной , а тре­уголь­ник ― рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с бо­ко­вой сто­ро­ной . Далее имеем:

, , . Учи­ты­вая, что , окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем .

 

Ответ: .


Аналоги к заданию № 519517: 519543 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 2.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и треугольники