Угол MKN треугольника KMN равен 
Сторона MN является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник MKN.
а) Докажите, что около четырёхугольника KMON можно описать окружность.
б) Известно, что в четырёхугольник KMON можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R = 12, 
а) Пусть точка P ― центр окружности, вписанной в треугольник KMN (см.рисунок).
Тогда 
и 
откуда получаем 
Углы MNP и NMP вписаны в окружность O(R), поэтому 
Значит, 
и 
Следовательно, около четырёхугольника KMON можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) В четырёхугольник KMON можно вписать окружность, следовательно, 
откуда 
Таким образом, треугольник OMN ― равносторонний треугольник со стороной 
а треугольникKMN ― равнобедренный треугольник с боковой стороной 
Далее имеем:
Учитывая, что 
окончательно получаем 
Ответ: 