PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 400 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?
При изготовлении подшипников диаметром 75 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 74,99 мм или больше чем 75,01 мм.
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Голландии и 6 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
Найдите корень уравнения: 
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите значение выражения 
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону 
(см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Бизнесмен Печенов получил в 2000 году прибыль в размере 1 000 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 16% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Печенов за 2002 год?
Найдите наибольшее значение функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.
Решите неравенство: 
Дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM = АС
а) Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС = 4.
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущею года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 220 тысяч рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тысяч рублей.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 159. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?
б) Среди написанных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?
в) Найдите наибольшее значение N.
значит, он также равнобедренный: 
Следовательно,
выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2; 4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2; 4] уравнение 
cм/с при заданном законе изменения скорости 
и условии 
:
первых двух секунд после начала движения скорость груза превышала 3,5 см/с. Это составляет 
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 16%, следовательно, она составляла 116% от прибыли предыдущего года, то есть увеличивалась в 
раза, по сравнению с предыдущим годом. В 2002 году прибыль составила 
рублей.
получаем:
заданному отрезку принадлежит только число −1.
В равнобедренных треугольниках ASB и PSQ медианы SM и SN являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки S, M и N лежат на одной прямой. Треугольник PCQ равнобедренный, так как треугольники PAC и QBC равны, а значит, PC = 
В треугольниках ABC и PCQ высотами служат отрезки CM и CN соответственно. Из того, что отрезок PQ перпендикулярен отрезку SN и отрезку CN следует, что прямая PQ перпендикулярна плоскости SNC, но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые PQ и SC перпендикулярны.
искомый. Найдём стороны треугольника 
Тогда 
поэтому получаем 
Из треугольника АВС находим, что 
AB = 8. Поскольку 
получаем
а выплаты с февраля по июнь в 2030 и 2031 годах составляют по x тыс. руб. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют по 220(k − 1) тыс. руб.
а в июле − 
По условию, к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью, значит, 
откуда 
Из полученного уравнения находим k = 1,2, тогда r = 20. 
выплату в первые три года за a, а выплату в последние два года за 
Тогда, если 
то 
— так выглядит выплата в каждый из первых трех годов. Условие выплаты кредита двумя равными платежами в последние два года дается формулой 
Тогда 
Подставляя выражения a и b, выраженные через k, получаем уравнение: 
В силу теоремы Виета, сумма корней полученного уравнения равна 
а их произведение равно 
Нетрудно подобрать числа (см. комментарий ниже), удовлетворяющие этим равенствам: это числа 
и 
По теореме, обратной теореме Виета, найденные числа являются корнями этого квадратного уравнения. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Тем самым 
откуда 
и 
где 
Кроме того, из суммы корней находим, что 
Теперь подбираем удовлетворяющие системе целые числа: 
поэтому 
Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
не является корнем уравнения.
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
то есть 
— абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции 
:
поэтому 
и преобразуем уравнение. 
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
Левая часть этого уравнения — функция 
графиком которой является парабола, правая часть — функция 
пучок прямых, проходящих через точку 
Для того чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при 
должен быть равен нулю. 
откуда a = –3 или a = –2. В первом случае касание происходит при 
а во втором — при 
Таким образом, при 
— графики пересекаются на промежутке 
при 
— графики не пересекаются, при 
— графики пересекаются на промежутке 
и 
а 29 делится на 
это невозможно.
значит, все разности имеют вид 
при 
Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 53 числа.