Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 517514

Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA_1B_1B и BB_1C_1C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.

а)  Докажите, что треугольник BA_1C_1 прямоугольный.

б)  Найдите объём пирамиды AA_1C_1B.

Спрятать решение

Решение.

а)  Прямая A_1C_1 перпендикулярна плоскости BB_1C_1, поскольку она перпендикулярна прямым C_1B_1 и CC_1. Значит, прямые A_1C_1 и BC_1 перпендикулярны.

б)  Пусть V  — объём призмы ABCA_1B_1C_1. Тогда объём треугольной пирамиды C_1ABC равен  дробь: числитель: V, знаменатель: 3 конец дроби , поскольку её высота CC_1 и основание ABC совпадают с высотой и основанием призмы соответственно. Аналогично объём треугольной пирамиды BA_1B_1C_1 равен  дробь: числитель: V, знаменатель: 3 конец дроби . Призма ABCA_1B_1C_1 составлена из трёх пирамид: BA_1B_1C_1, C_1ABC и AA_1C_1B. Значит, объём пирамиды AA_1C_1B равен  дробь: числитель: V, знаменатель: 3 конец дроби .

В призме ABCA_1B_1C_1:

A_1C_1= корень из A_1B в квадрате минус BC_1 в квадрате =12, B_1C_1= корень из A_1B_1 в квадрате минус A_1C_1 в квадрате =5,

 

CC_1= корень из CB_1 в квадрате минус B_1C_1 в квадрате =2 корень из 14, V=CC_1 умножить на дробь: числитель: A_1C_1 умножить на B_1C_1, знаменатель: 2 конец дроби =60 корень из 14.

Таким образом, объём пирамиды AA_1C_1B равен 20 корень из 14.

 

Ответ: б) 20 корень из 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).