Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Вариант № 15005049

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).

1.

а)  Решите уравнение:  логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из 3 косинус x минус синус 2x правая круглая скобка =x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

2.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA_1B_1B и BB_1C_1C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.

а)  Докажите, что треугольник BA_1C_1 прямоугольный.

б)  Найдите объём пирамиды AA_1C_1B.

3.

Решите неравенство:  дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 40, знаменатель: 2 умножить на 64 в степени x минус 32 конец дроби меньше или равно 1.

4.

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б)  Известно, что  синус \angle AOC= дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: конец дроби 4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.

5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

6.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

 корень из x минус a умножить на синус x= корень из x минус a умножить на косинус x

имеет ровно один корень на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

7.

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а)  Приведите пример, когда S < 15.

б)  Могло ли значение S быть равным 5?

в)  Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?